汉诺塔问题——用贪心算法解决

一：起源

汉诺塔（Tower of Hanoi）问题起源于一个印度的古老传说。在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 64 片金片，这就是所谓的汉诺塔。

不论白天黑夜，总有一个僧侣按照下面的法则移动这些金片：

I. 一次只移动一片，不管在哪根针上

II. 小片必须在大片上面

僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

二：问题描述

有三根柱子（通常标记为 A、B、C），在其中一根柱子（如 A 柱）上从下到上按大小顺序摞着 n 个圆盘，要求把这 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱，每次只能移动一个圆盘 ，并且在移动过程中任何时候都不能出现大盘在小盘上面的情况。辅助柱用于在移动过程中临时存放圆盘。

三：规律

移动次数规律：对于 n 个圆盘的汉诺塔问题，最少需要移动的次数为 \(2^n - 1\) 次。

例如:

当 (n = 1) 时，只需移动 1 次；

当 (n = 2) 时，需要移动 (2^2 - 1 = 3) 次；

当 (n = 3) 时，需要移动 (2^3 - 1 = 7) 次，

以此类推。

递归规律 ：可以将 n 个圆盘的汉诺塔问题分解为三个子问题：
1. 把上面的 \(n - 1\) 个圆盘从起始柱借助目标柱移动到辅助柱。
2. 把最大的第 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱。
3. 把 \(n - 1\) 个圆盘从辅助柱借助起始柱移动到目标柱。

三：解决方案

递归算法

递归是解决汉诺塔问题最常用的方法，其核心思想是将大问题分解为小问题。

说到这，小伙伴们是否会自然而然会想到分治算法 呢？（C语言）算法复习总结2------分治算法-CSDN博客

四：代码实现

复制代码

#include <stdio.h>

// 递归函数用于解决汉诺塔问题
void hanoi(int n, char source, char target, char auxiliary) {
    if (n == 1) {
        // 当只有一个圆盘时，直接从源柱移动到目标柱
        printf("Move disk 1 from %c to %c\n", source, target);
        return;
    }
    // 把 n-1 个圆盘从源柱借助目标柱移动到辅助柱
    hanoi(n - 1, source, auxiliary, target);
    // 把第 n 个圆盘从源柱移动到目标柱
    printf("Move disk %d from %c to %c\n", n, source, target);
    // 把 n-1 个圆盘从辅助柱借助源柱移动到目标柱
    hanoi(n - 1, auxiliary, target, source);
}

int main() {
    int n = 3;  // 圆盘的数量
    // 调用 hanoi 函数开始移动圆盘
    hanoi(n, 'A', 'C', 'B');
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度 ：由于每次递归调用都会将问题规模减小 1，且每次调用会产生两个新的递归调用，所以时间复杂度为 (O(2^n))。
空间复杂度 ：递归调用栈的最大深度为 n，因此空间复杂度为 (O(n))。