汉诺塔问题——用贪心算法解决

目录

一:起源

二:问题描述

三:规律

三:解决方案

递归算法

四:代码实现

复杂度分析


一:起源

汉诺塔(Tower of Hanoi)问题起源于一个印度的古老传说。在世界中心贝拿勒斯(在印度北部)的圣庙里,一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候,在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 64 片金片,这就是所谓的汉诺塔。

不论白天黑夜,总有一个僧侣按照下面的法则移动这些金片:

I. 一次只移动一片,不管在哪根针上

II. 小片必须在大片上面

僧侣们预言,当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时,世界就将在一声霹雳中消灭,而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。

二:问题描述

有三根柱子(通常标记为 A、B、C),在其中一根柱子(如 A 柱)上从下到上按大小顺序摞着 n 个圆盘,要求把这 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱,每次只能移动一个圆盘并且在移动过程中任何时候都不能出现大盘在小盘上面的情况。辅助柱用于在移动过程中临时存放圆盘。

三:规律

  • 移动次数规律:对于 n 个圆盘的汉诺塔问题,最少需要移动的次数为 \(2^n - 1\) 次。

例如:

当 (n = 1) 时,只需移动 1 次;

当 (n = 2) 时,需要移动 (2^2 - 1 = 3) 次;

当 (n = 3) 时,需要移动 (2^3 - 1 = 7) 次,

以此类推。

  • 递归规律 :可以将 n 个圆盘的汉诺塔问题分解为三个子问题:
    1. 把上面的 \(n - 1\) 个圆盘从起始柱借助目标柱移动到辅助柱。
    2. 把最大的第 n 个圆盘从起始柱移动到目标柱。
    3. 把 \(n - 1\) 个圆盘从辅助柱借助起始柱移动到目标柱。

三:解决方案

递归算法

递归是解决汉诺塔问题最常用的方法,其核心思想是将大问题分解为小问题

说到这,小伙伴们是否会自然而然会想到分治算法 呢?(C语言)算法复习总结2------分治算法-CSDN博客

四:代码实现

复制代码
#include <stdio.h>

// 递归函数用于解决汉诺塔问题
void hanoi(int n, char source, char target, char auxiliary) {
    if (n == 1) {
        // 当只有一个圆盘时,直接从源柱移动到目标柱
        printf("Move disk 1 from %c to %c\n", source, target);
        return;
    }
    // 把 n-1 个圆盘从源柱借助目标柱移动到辅助柱
    hanoi(n - 1, source, auxiliary, target);
    // 把第 n 个圆盘从源柱移动到目标柱
    printf("Move disk %d from %c to %c\n", n, source, target);
    // 把 n-1 个圆盘从辅助柱借助源柱移动到目标柱
    hanoi(n - 1, auxiliary, target, source);
}

int main() {
    int n = 3;  // 圆盘的数量
    // 调用 hanoi 函数开始移动圆盘
    hanoi(n, 'A', 'C', 'B');
    return 0;
}
复杂度分析
  • 时间复杂度 :由于每次递归调用都会将问题规模减小 1,且每次调用会产生两个新的递归调用,所以时间复杂度为 (O(2^n))
  • 空间复杂度 :递归调用栈的最大深度为 n,因此空间复杂度为 (O(n))
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