LeetCode每日一题4.19

2563. 统计公平数对的数目

题目

问题分析

输入：一个整数数组 nums 和两个整数 lower 和 upper。

输出：返回满足条件的公平数对的数目，即对于所有 0 <= i < j < n，lower <= nums $i$ + nums $j$ <= upper 的数对 (i, j) 的数量。

思路

方法一：暴力解法（时间复杂度 O(n^2)）

直接遍历所有可能的数对 (i, j) 并检查它们是否满足条件。

方法二：优化解法（二分查找）

排序：首先对数组 nums 进行排序。

遍历：然后对每个 nums $i$ ，使用二分查找来找到满足条件的 nums $j$ （其中 j > i）的范围。

二分查找：分别找到满足 nums $i$ + nums $j$ <= upper 的最大 j（通过 find_upper_bound）和满足 nums $i$ + nums $j$ >= lower 的最小 j（通过 find_lower_bound）。

代码

python 复制代码

class Solution:
    def countFairPairs(self, nums: List[int], lower: int, upper: int) -> int:
        # 对数组进行排序
        nums.sort()
        count = 0
        n = len(nums)

        for i in range(n):
            # 找到满足 nums[i] + nums[j] <= upper 的最大 j 的位置
            r = self.find_upper_bound(nums, upper - nums[i], i + 1, n - 1)
            # 找到满足 nums[i] + nums[j] >= lower 的最小 j 的位置
            l = self.find_lower_bound(nums, lower - nums[i], i + 1, n - 1)
            # 统计符合条件的数对数量
            if l <= r:
                count += r - l + 1

        return count

    def find_upper_bound(self, nums, target, start, end):
        while start <= end:
            mid = (start + end) // 2
            if nums[mid] > target:
                end = mid - 1
            else:
                start = mid + 1
        return end

    def find_lower_bound(self, nums, target, start, end):
        while start <= end:
            mid = (start + end) // 2
            if nums[mid] < target:
                start = mid + 1
            else:
                end = mid - 1
        return start

复杂度分析

时间复杂度：

排序：(O(n \log n))

遍历并二分查找：(O(n \log n))

因此，最终时间复杂度为：

O(n \\log n) + O(n \\log n) = O(n \\log n)

空间复杂度：

遍历：(O(n))

学习

排序

排序是为了后续能够利用二分查找来高效地找到满足条件的 nums $j$ 。

遍历

python 复制代码

for i in range(n):
    r = self.find_upper_bound(nums, upper - nums[i], i + 1, n - 1)
    l = self.find_lower_bound(nums, lower - nums[i], i + 1, n - 1)
    if l <= r:
        count += r - l + 1

遍历每个 nums $i$ ：对于每个 nums $i$ ，我们需要找到所有 j > i 且满足 lower <= nums $i$ + nums $j$ <= upper 的 nums $j$ 。

找到 r 和 l：

r 是满足 nums $i$ + nums $j$ <= upper 的最大 j 的位置。

l 是满足 nums $i$ + nums $j$ >= lower 的最小 j 的位置。

统计数对：如果 l <= r，则 l 到 r 之间的所有 j 都是符合条件的，因此数对数量为 r - l + 1。

二分查找

find_upper_bound：找到第一个大于 target 的元素的位置（返回该位置的前一个位置）。

python 复制代码

  def find_upper_bound(self, nums, target, start, end):
      while start <= end:
          mid = (start + end) // 2
          if nums[mid] > target:
              end = mid - 1
          else:
              start = mid + 1
      return end

find_lower_bound：找到第一个不小于 target 的元素的位置。

python 复制代码

  def find_lower_bound(self, nums, target, start, end):
      while start <= end:
          mid = (start + end) // 2
          if nums[mid] < target:
              start = mid + 1
          else:
              end = mid - 1
      return start

与相向双指针方法的区别

相向双指针方法的典型特点是：

两个指针从两端向中间移动：一个指针从数组的起始位置开始（left），另一个指针从数组的末尾位置开始（right）。

根据当前 nums $left$ + nums $right$ 的值来决定移动哪个指针：

如果当前和小于 lower，则 left 指针右移。

如果当前和大于 upper，则 right 指针左移。

如果当前和在 $lower, upper$ 范围内，则统计符合条件的数对并调整指针。