[图论]Kruskal

椰萝Yerosius2025-04-21 13:39

Kruskal

本质：贪心，对边进行操作。
存储结构：边集数组。
适用对象：可为负权图，可求最大生成树。
核心思想：最短的边一定在最小生成树(MST)上，对最短的边进行贪心。
算法流程：对全体边集 { E } \set{E} {E}由小到大排序。遍历所有边，每次添加使已选边集不成环的边，直到已选 V − 1 V-1 V−1条边。可使用并查集判环，每次加边前先判断两点是否同属一个集合，每次加边时将两点合并到一个集合。
复杂度： O ( E log ⁡ 2 E ) O(E\log_2E) O(Elog2E)

注：若无特殊说明，本文顶点与边编号均从0开始。

数据结构定义

cpp 复制代码

using ll=long long;
ll n,m,s;//点数,边数,源点
struct edge{
    int u,v,w;
}e[m];
bool cmp(edge a,edge b){
    return a.w<b.w;
}
int s[n];
int Find(int x){
    if(s[x]!=x) s[x]=Find(s[x]);
    return s[x];
}
void init(){
    for(int i=0;i<n;i++) s[i]=i;
}

实现

cpp 复制代码

int kruskal(){
    sort(e,e+m,cmp);
    init();
    int ans=0,cnt=0;
    for(int i=0;i<m;i++){
        if(cnt==n-1) break;
        int U=e[i].u,V=e[i].v,W=e[i].w;
        int u1=Find(U),u2=Find(V);
        if(u1==u2) continue;//成环,不选当前边
        else{
            ans+=W;
            s[u1]=u2;//合并到一个集合
            cnt++;
        }
    }
    if(cnt==n-1) return ans;
    return -1;
}

若求最大生成树，改为对边集 { E } \set{E} {E}由大到小排序即可。