数据结构 -- 图的应用（一）

图的应用

最小生成树（最小代价树）

最小生成树是指在一个连通的无向图中，包含所有顶点的树，其所有边的权重总和在所有可能的生成树中是最小的。

应用实例

道路规划要求：所有地方都连通，且成本尽可能低

特点

同一个图可能会有多个生成树（代价相同）

如果一个连通图本身就是一棵树，那么其最小生成树就是它本身

只有连通图才有生成树，非连通图只有生成森林

Prim算法

步骤：

从某一个顶点开始构建生成树；每次将代价最小的新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入为止。

时间复杂度：

O(|V|²) 适用于边稠密的图

kruskal算法（克鲁斯卡尔）

步骤：

每次选择一条权值最小的边，使这两条边的两头相连（原本已经联通的就不选）

直到所有点都连通

时间复杂度：

O(|E|log|E|) 适用于边稀疏的图

Prim算法的实现思想

使用isJoin[n]和lowCost[n]分别存放第n个结点是否以联通和此时到达第n个结点的最小代价

初始：从v0开始

初始化isJoin[0] = T,lowCost[0] = 0;其他结点如果与v0相连，则lowCost为权值，如果不相连，为∞

第1轮，循环遍历所有节点，找到lowCost最低且还没有加入到树的顶点

再次循环，更新还没加入的各个顶点的lowCost值

第2轮处理：循环遍历所有节点，找到lowCost最低且还没有加入到树的顶点

再次循环，更新还没加入的各个顶点的lowCost值

......

时间复杂度分析：

从v0开始需要进行n-1轮的处理每一轮处理的时间复杂度O(2n)

kruskal算法（克鲁斯卡尔）的实现思想

初始：将各条边按权值排序

第1轮：检查第1条边的两个顶点是否已经联通（是否属于同一个集合）不连通连起来

第2轮：检查第2条边的两个顶点是否已经联通（是否属于同一个集合）已联通跳过

......

时间复杂度：

（如果有e条边）总共需要进行e轮每轮判断是否已经联通需要O(loge)的时间复杂度

最短路径问题

单源最短路径（BFS算法、Dijistra算法）

每队顶点之间的最短路径（Floyd算法）

BFS求无权图的单源最短路径

对BFS的小修改，在visit一个顶点时，修改其最短路径长度d[]并在path[]记录前驱结点

c 复制代码

bool visited[MAX_VERTEX_NUM];			//访问标记数组

void BFSTraverse(Graph G,int u){
    for(i = 0;i<G.vexnum;++){
        d[i] = ∞;			//初始化路径长度
        path[i] = -1;		//最短路径从哪个顶点来
    }
    d[u] = 0;
    visited[u] = TRUE;
    EnQueue(Q,u);
    while(!isEmpty(Q)){
        DeQueue(Q,u);					//顶点u出队列
        for(w = FirstNeighbor(G,u);w>=0;w = NextNeighbor(G,u,w))
            //检测u的所有邻接顶点
            if(!visited[w]){			//w尚未被访问
                d[w] = d[u]+1;
                path[w] = u;				//访问顶点w
                visited[w] = true;		//对w做已访问标记
                EnQueue(Q,w);			//顶点w入队列
            }//if
    }//while   
}

$!NOTE$
从顶点u起始的单源最短路径 → 以u为根的，高度最小的生成树

w的路径长度即对应在生成树中的层数

前驱结点即为其父节点

Dijistra算法求取单源最短路径

迪杰斯特拉

提出"goto有害理论" --操作系统，虚拟存储技术（小题考点 5）

信号量机制PV原语 --操作系统，进程同步（每年都考大题 15）

银行家算法 --操作系统，死锁

解决哲学家进餐问题 --操作系统，死锁（大题、小题 15）

Dijistra最短路径算法 --数据结构大题、小题（10）

BFS算法的局限性

BFS算法求取单源最短路径只适用于无权图，或者所有边权值都相同的图

Dijistra算法

final[] 标记各顶点是否已找到最短路径

dist[] 记录当前最短路径长度

path[] 记录当前最短路径上的前驱结点

步骤：

①初始化，

②第一轮：循环遍历所有节点，找到还没确定最短路径且dist最小的顶点vi，令final[i] = true

检查所有邻接自vi的顶点，若其final值为false，则更新dist和path的信息

③第二轮：循环遍历所有节点，找到还没确定最短路径且dist最小的顶点vi，令final[i] = true

检查所有邻接自vi的顶点，若其final值为false，则更新dist和path的信息

......

时间复杂度：

O(n²)即O(|V|²)

用于负权值带权图

如果带权图中有负权值，Dijistra算法会失效

Floyd算法求取顶点对间最短路径

Floyd

Floyd算法

堆排序算法

Floyd算法

使用动态规划思想，将问题分解为多个阶段

A[][] 目前来看，各顶点间的最短路径长度

path[][] 两个顶点之间的中转点

步骤：

①初始：不允许在其他顶点中转 A^(-1) path^(-1)

②允许在v0中转，最短路径是？求取A⁽⁰⁾ path⁽⁰⁾

③允许在v0、v1中转，最短路径是？求取A⁽¹⁾ path⁽¹⁾

......

时间复杂度：

从A^(-1) path^(-1)开始，经过n轮递推，得到A^(n-1) path^(n-1)

核心代码

c 复制代码

//......准备工作，根据图的信息初始化矩阵A和path
//A即对应图的邻接矩阵，path全部初始化为-1
for(int k = 0;k<n;k++){	//考虑以vk为中转点
    for(int i = 0;i<n;i++){		//遍历整个矩阵 行号为i 列好为j
        for(int j = 0;j<n;j++){
            if(A[i][j] > A[i][k]+A[k][j]){	//以vk为中转点的路径更短
                A[i][j] = A[i][k]+A[k][j];	//更新最短路径长度
                path[i][j] = k;				//中转点
            }
        }
    } 
}

时间复杂度：

O(|V|³)

空间复杂度：

O(|V|²)

可以解决带负权值的图的最短路径的求取

但是不能解决带有"负权回路"的图（有负权值的边组成的回路），这种图有可能没有最短路径