LeetCode 每日一题 2845. 统计趣味子数组的数目

2845. 统计趣味子数组的数目

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，以及整数 modulo 和整数 k 。

请你找出并统计数组中趣味子数组的数目。

如果子数组 nums $l...r$ 满足下述条件，则称其为趣味子数组：

在范围 $l, r$ 内，设 cnt 为满足 nums $i$ % modulo == k 的索引 i 的数量。并且 cnt % modulo == k 。

以整数形式表示并返回趣味子数组的数目。

注意：子数组是数组中的一个连续非空的元素序列。

示例 1：

输入：nums = $3,2,4$ , modulo = 2, k = 1

输出：3

解释：在这个示例中，趣味子数组分别是：

子数组 nums $0...0$ ，也就是 $3$ 。

-在范围 $0, 0$ 内，只存在 1 个下标 i = 0 满足 nums $i$ % modulo == k 。

-因此 cnt = 1 ，且 cnt % modulo == k 。

子数组 nums $0...1$ ，也就是 $3,2$ 。

-在范围 $0, 1$ 内，只存在 1 个下标 i = 0 满足 nums $i$ % modulo == k 。

-因此 cnt = 1 ，且 cnt % modulo == k 。

子数组 nums $0...2$ ，也就是 $3,2,4$ 。

-在范围 $0, 2$ 内，只存在 1 个下标 i = 0 满足 nums $i$ % modulo == k 。

-因此 cnt = 1 ，且 cnt % modulo == k 。

可以证明不存在其他趣味子数组。因此，答案为 3 。

示例 2：

输入：nums = $3,1,9,6$ , modulo = 3, k = 0

输出：2

解释：在这个示例中，趣味子数组分别是：

子数组 nums $0...3$ ，也就是 $3,1,9,6$ 。

-在范围 $0, 3$ 内，只存在 3 个下标 i = 0, 2, 3 满足 nums $i$ % modulo == k 。

-因此 cnt = 3 ，且 cnt % modulo == k 。

子数组 nums $1...1$ ，也就是 $1$ 。

-在范围 $1, 1$ 内，不存在下标满足 nums $i$ % modulo == k 。

-因此 cnt = 0 ，且 cnt % modulo == k 。

可以证明不存在其他趣味子数组，因此答案为 2 。

提示：

1 <= nums.length <= 105

1 <= nums $i$ <= 109

1 <= modulo <= 109

0 <= k < modulo

题解

这道题的关键是转换趣味数组的条件

设 cnt 为满足 nums $i$ % modulo == k 的索引 i 的数量。并且 cnt % modulo == k

注意到，对于 nums 中的数据，我们只关心 其是否 %modulok
不妨令 nums 中 %modulok 的数据为 1，其余为 0

那么趣味数组的条件就转换为：子数组的和 % modulo == k

子数组的和很自然就是用前缀和 记录

用数组 arr $i$ 记录 nums 从 0 到 i 之和

任意边界为 $l,r$ (l<=r) 的子数组之和即为：arr $r$ - arr $l$ + nums $l$

那么条件转换为：(arr $r$ - arr $l$ + nums $l$ ) % modulo == k

接下来就是对这个式子进行巧妙的转换

由于 k < modulo，则 k==k % modulo
(arr $r$ - arr $l$ + nums $l$ ) % modulo == k % modulo

arr $r$ - arr $l$ + nums $l$ 与 k 同余！

同余的相关内容可以看【国际数学竞赛】同余理论(Modulo)

根据同余的性质式子又可以转换为
(arr $r$ - k) % modulo == (arr $l$ - nums $l$ ) % modulo （移项）

这就是最终的式子

通过一大番功夫，我们将 r 和 l 移到了式子两边，这样我们就可以枚举 r ，用数组 s 不断记录并维护 r 自身即左边的所有 (arr $l$ - nums $l$ ) % modulo 的个数。对于每一个 r ，满足条件的左边界个数即为 s $(arr\[r$ - k) % modulo]

代码如下↓

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    long long countInterestingSubarrays(vector<int>& nums, int modulo, int k) {
        vector<int> arr;//arr是前缀和
        int sum=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
            if(nums[i]%modulo==k)
            {
                nums[i]=1;
                sum++;
            }
            else
            {
                nums[i]=0;
            }//转换成01，这样就变成统计 和 %mod 为 k 的子数组
            arr.push_back(sum);
        }
        //就是找 (arr[j] - arr[i]+nums[i]) % mod == k
        //等价于 (arr[j] - arr[i]+nums[i]) % mod == k%mod
        //同余
        //(arr[j] - k)%mod == (arr[i] - nums[i])% mod (i<=j)
        //这样就枚举j，统计左边有多少 arr[i] % mod 与之相等即可
        //(arr[i] - nums[i])% mod 可以一边枚举 j 一边维护，O(N)!
        int n=nums.size();
        vector<int> s(min(modulo,n+1));
        long long res=0;
        for(int i=0;i<arr.size();i++)
        {
            int x=(arr[i] - k)%modulo;//哇，小心 arr[i]-k < 0
            if(x<0)
            {
                s[(arr[i]-nums[i])%modulo]++;
                continue;
            }
            s[(arr[i]-nums[i])%modulo]++;
            res+=s[x];
        }
        return res;
    }
};