acwing背包问题求方案数

怀念无所不能的你2025-04-30 9:49

题目描述：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

输出 最优选法的方案数。注意答案可能很大，请输出答案模 109+7109+7 的结果。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第i件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示 方案数 模 10^9 +7 的结果。

数据范围

0<N,V≤10000

0<vi,wi≤10000

输入样例

复制代码
4 5
1 2
2 4
3 4
4 6

输出：

2

思路分析：本题是 背包DP 中的经典题型 ------ 【背包DP求最优方案总数】

由01背包问题可以知道：转移方程f[i,j]=max(f[i−1,j],f[i−1,j−v]+w)

我们用g[i][j] 来表示f[i][j]取最大值的方案数，

当f[i,j] 是从f[i - 1,j]转移过来时g[i,j] = f[i - 1,j]

当f[i,j]是从f[i - 1,j - v] + w转移过来时，g[i,j] = g[i - 1,j - v]

当f[i,j]f[i,j]均能从f[i−1,j]f[i−1,j]和f[i−1,j−v]+wf[i−1,j−v]+w转移过来的，则g[i,j]=g[i−1,j]+g[i−1,j−v]g[i,j]=g[i−1,j]+g[i−1,j−v]即（f[j - v] + w == f[i - 1][j]

首先考虑初始值

从前i个物品中一件都不选方案是1 即 g[i] = 1

优化成一维状态：由01背包可以知道转移由上一层转移，从大到小即可以优化成一维状态。

代码部分：

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010,mod = 1e9 + 7;
int f[N],g[N];
int n,m;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    
    cin >> n >> m;
    for(int i = 0; i <= m; i++) f[i] = 0,g[i] = 1;
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int v,w;
        cin >> v >> w;
        for(int j = m; j >= v; j--)
        {
            if(f[j - v] + w > f[j])
            {
                f[j] = f[j - v] + w;
                g[j] = g[j - v];
            }
            else if(f[j - v] + w == f[j])
            {
                g[j] = (g[j] + g[j - v]) % mod;
            }
        }
    }
    cout<<g[m];
}