004 树与二叉树：从原理到实战

摘要：树形结构是计算机科学的基石，而二叉树则是其中最闪耀的明珠。本文将简单介绍树和二叉树的概念，为后续数据结构和算法的学习打一个基础

一、树（Tree）：数据世界的金字塔结构

1. 树的本质

树是一种分层抽象模型，它用节点间的父子关系打破了线性结构的桎梏。就像现实中的金字塔：

根节点是塔尖，掌握全局
内部节点是中层管理者，承上启下
叶子节点是基层执行者，专注细节

树的数学定义（严谨版）

树T是一个满足以下条件的n(n≥0)个节点的有限集合：

当n=0时，称为空树
当n>0时，存在唯一根节点，其余节点分为m(m≥0)个互不相交的子树

2. 树的20个核心术语详解

通过家族关系类比理解（以图1为例）：

复制代码

        董事长(CEO)
        /    |    \
     CTO    CFO   COO
     /  \         /   \
 Dev1  Dev2   Ops1  Ops2

术语	解释	示例
度 (Degree)	节点的子节点数	CTO的度为2
路径 (Path)	节点间的边序列	CEO→CTO→Dev1是路径
兄弟节点 (Sibling)	同父节点的节点	Dev1和Dev2是兄弟
堂兄弟节点	同层但父节点不同	Dev1与Ops1是堂兄弟
祖先节点 (Ancestor)	从根到该节点的路径上的所有节点	CEO是Dev1的祖先
后代节点 (Descendant)	某节点子树中的所有节点	CTO的后代是Dev1,Dev2
森林 (Forest)	互不相交的树的集合	删除根节点后得到森林

3. 树的分类大全（7种维度）

维度1：节点分支数

python 复制代码

class TreeNode:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.children = []  # 普通树的实现方式
        
# 二叉树节点
class BinaryTreeNode:
    def __init__(self, val):
        self.val = val
        self.left = None
        self.right = None

类型	特点	应用场景
普通树	子节点数无限制	文件系统
二叉树	每个节点最多2个子节点	表达式计算
Trie树	每个边代表一个字符	输入法词库

维度2：节点关系特性

有序树：子节点顺序不可交换（如二叉树）
无序树：子节点顺序无关（如公司部门结构）

4. 树的5种遍历方式详解（非二叉树）

以公司组织架构为例：

复制代码

        CEO
     /   |   \
   VP1  VP2  VP3
  /  \       / | \
M1   M2   M3 M4 M5

广度优先遍历（BFS）

访问顺序：CEO → VP1 → VP2 → VP3 → M1 → M2 → M3 → M4 → M5

场景：计算组织架构层级
深度优先遍历（DFS）
- 前序：CEO → VP1 → M1 → M2 → VP2 → VP3 → M3 → M4 → M5
  （适用于复制树结构）
- 后序：M1 → M2 → VP1 → VP2 → M3 → M4 → M5 → VP3 → CEO
  （适用于计算文件夹大小）
- 中序：仅对二叉树有意义
Z型遍历

输出：CEO ← VP1 → VP2 ← VP3 → M3 ← M4 → M5

场景：DNA序列分析

代码实现（Python）

python 复制代码

from collections import deque

class GeneralTree:
    def __init__(self, root):
        self.root = root

    def bfs(self):
        if not self.root:
            return []
        result = []
        queue = deque([self.root])
        while queue:
            level_size = len(queue)
            current_level = []
            for _ in range(level_size):
                node = queue.popleft()
                current_level.append(node.data)
                for child in node.children:
                    queue.append(child)
            result.append(current_level)
        return result  # 返回分层结果

# 示例用法
ceo = TreeNode("CEO")
vp1 = TreeNode("VP1")
vp2 = TreeNode("VP2")
vp3 = TreeNode("VP3")
ceo.children = [vp1, vp2, vp3]
vp1.children = [TreeNode("M1"), TreeNode("M2")]
vp3.children = [TreeNode("M3"), TreeNode("M4"), TreeNode("M5")]

tree = GeneralTree(ceo)
print("BFS结果:", tree.bfs())
# 输出: [['CEO'], ['VP1', 'VP2', 'VP3'], ['M1', 'M2', 'M3', 'M4', 'M5']]

5. 树的6大经典应用场景

场景1：Linux文件系统

复制代码

/
├── bin
├── etc
│   ├── apt
│   └── network
├── home
│   ├── user1
│   └── user2
└── usr

路径表示：/home/user1/docs/file.txt
操作特点：快速定位文件（类似B+树索引）

场景2：XML/HTML解析

html 复制代码

<html>
  <head>
    <title>Page</title>
  </head>
  <body>
    <div class="content">
      <p>Hello World</p>
    </div>
  </body>
</html>

对应的DOM树：

复制代码

           html
         /     \
     head       body
      |          |
    title       div
     |           |
   "Page"       p
                 |
             "Hello World"

场景3：人工智能决策树

复制代码

          是否周末?
         /        \
    是            否
    /              \
天气好?          需要加班?
  /  \             /    \
外出 宅家        加班   看电影

信息增益：通过熵值计算最佳分裂属性
剪枝优化：防止过拟合

二、二叉树：简洁与高效的完美平衡

1. 二叉树的5大特性证明

特性1 ：第i层最多有2^(i-1)个节点
证明：数学归纳法

基础：i=1时，根节点1个=2^0 ✔️
归纳：假设第k层最多 2 k − 1 2^{k-1} 2k−1节点，则第k+1层最多 2 ⋅ 2 k − 1 = 2 k 2 \cdot 2^{k-1}=2^k 2⋅2k−1=2k ✔️

特性2 ：深度为h的二叉树最多有 2 h − 1 2^{h -1} 2h−1个节点
应用：快速判断树是否满二叉树

2. 完全二叉树的数组存储技巧

概念 :

满二叉树：除了叶子节点外，其余节点都有左右子节点

完全二叉树：可以是满二叉树，也可以是某个满二叉树删除最后一层的最后若干个节点。

用数组存储完全二叉树

将节点按层序存入数组：

复制代码

        1(0)
       /   \
    2(1)   3(2)
   /  \ 
4(3) 5(4)

数组表示：[1,2,3,4,5]

父子关系计算：

父节点索引 = (i-1)//2
左子节点索引 = 2i +1
右子节点索引 = 2i +2

python 复制代码

class ArrayBinaryTree:
    def __init__(self, array):
        self.array = array
    
    def parent(self, index):
        return (index-1)//2 if index >0 else None
    
    def left_child(self, index):
        left = 2*index +1
        return left if left < len(self.array) else None

# 示例
tree = ArrayBinaryTree([1,2,3,4,5])
print(tree.left_child(0))  # 输出1

3. 二叉搜索树（BST）的平衡之道

查找效率对比：

数据结构	平均时间复杂度	最坏情况
数组（无序）	O(n)	O(n)
BST	O(log n)	O(n)
平衡BST	O(log n)	O(log n)

BST退化成链表的危险：

复制代码

此时查找效率降级为O(n)

解决方案 ：

引入AVL树（通过旋转保持平衡）或红黑树（通过颜色标记）

三、平衡二叉树

1. AVL树旋转的四种情况

以左旋为例：

复制代码

不平衡点（A）
     \
      B
       \
        C

旋转后：

复制代码

      B
     / \
    A   C

五、知识图谱：树形结构的演进之路

树二叉树 N叉树二叉搜索树 AVL树红黑树 B树 B+树数据库索引 TreeMap 快速查找

总结

本文就树的概念做一个简要介绍，其中涉及到的更深入的概念，随后还会涉及到。

004 树与二叉树：从原理到实战

一、树（Tree）：数据世界的金字塔结构

1. 树的本质

树的数学定义（严谨版）

2. 树的20个核心术语详解

3. 树的分类大全（7种维度）

维度1：节点分支数

维度2：节点关系特性

4. 树的5种遍历方式详解（非二叉树）

代码实现（Python）

5. 树的6大经典应用场景

场景1：Linux文件系统

场景2：XML/HTML解析

场景3：人工智能决策树

二、二叉树：简洁与高效的完美平衡

1. 二叉树的5大特性证明

2. 完全二叉树的数组存储技巧

3. 二叉搜索树（BST）的平衡之道

三、平衡二叉树

1. AVL树旋转的四种情况

五、知识图谱：树形结构的演进之路

总结

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