常用的 泰勒展开式 （Taylor series expansion）是指把一个函数在某点的邻域内展开成幂级数的形式。以函数 f ( x ) f(x) f(x) 在点 a a a 处展开为例，其泰勒展开式为：
f ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) 2 ! ( x − a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x − a ) 3 + ⋯ + f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n + ⋯ f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \cdots f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+3!f(3)(a)(x−a)3+⋯+n!f(n)(a)(x−a)n+⋯
简写形式为：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x − a ) n f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n f(x)=n=0∑∞n!f(n)(a)(x−a)n
特殊情况：以 0 为中心的泰勒展开（即 麦克劳林展开）：
f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ′ ′ ( 0 ) 2 ! x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + ⋯ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f′′(0)x2+⋯+n!f(n)(0)xn+⋯
好的，我们将逐个介绍常见函数的泰勒展开式，并分开说明每个函数的表达式、泰勒展开通项、收敛域与推导过程，不使用表格，方便你逐一理解和掌握。
1. e x e^x ex 的泰勒展开
表达式：
f ( x ) = e x f(x) = e^x f(x)=ex
泰勒展开（以 a = 0 a = 0 a=0 为例）：
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ex=n=0∑∞n!xn
推导过程：
由于 e x e^x ex 的导数满足 f ( n ) ( x ) = e x f^{(n)}(x) = e^x f(n)(x)=ex，所以在 x = 0 x=0 x=0 处有：
f ( n ) ( 0 ) = e 0 = 1 f^{(n)}(0) = e^0 = 1 f(n)(0)=e0=1
因此带入泰勒公式（麦克劳林展开）：
f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n = ∑ n = 0 ∞ x n n ! f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} f(x)=n=0∑∞n!f(n)(0)xn=n=0∑∞n!xn
收敛域：
整条实数轴 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)，因为 lim n → ∞ ∣ x n + 1 / ( n + 1 ) ! x n / n ! ∣ = 0 \lim_{n \to \infty} \left| \frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!} \right| = 0 limn→∞ xn/n!xn+1/(n+1)! =0。
2. sin x \sin x sinx
表达式：
f ( x ) = sin x f(x) = \sin x f(x)=sinx
泰勒展开（以 a = 0 a = 0 a=0 为例）：
sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sinx=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1
非零项出现在奇数阶导数中：
⇒ sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − ⋯ \Rightarrow \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots ⇒sinx=x−3!x3+5!x5−⋯
收敛域：
( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)，因为级数收敛半径是无限大。
3. cos x \cos x cosx
表达式：
f ( x ) = cos x f(x) = \cos x f(x)=cosx
泰勒展开（以 x = 0 x = 0 x=0）：
cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n
只有偶次导数不为零，因此展开为：
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − ⋯ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots cosx=1−2!x2+4!x4−⋯
收敛域：
( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)
4. ln ( 1 + x ) \ln(1 + x) ln(1+x)
表达式：
f ( x ) = ln ( 1 + x ) f(x) = \ln(1 + x) f(x)=ln(1+x)
泰勒展开（以 x = 0 x = 0 x=0）：
ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n \ln(1 + x) = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} ln(1+x)=n=1∑∞(−1)n+1nxn
在 x = 0 x = 0 x=0 处：
f ( n ) ( 0 ) = ( − 1 ) n + 1 ( n − 1 ) ! f^{(n)}(0) = (-1)^{n+1}(n-1)! f(n)(0)=(−1)n+1(n−1)!
带入泰勒公式：
f ( x ) = ∑ n = 1 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n f(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} f(x)=n=1∑∞n!f(n)(0)xn=n=1∑∞(−1)n+1nxn
收敛域：
− 1 < x ≤ 1 -1 < x \leq 1 −1<x≤1，但注意在 x = 1 x = 1 x=1 （即 ln 2 \ln 2 ln2）处极限存在。
5. 1 1 − x \frac{1}{1 - x} 1−x1
表达式：
f ( x ) = 1 1 − x f(x) = \frac{1}{1 - x} f(x)=1−x1
泰勒展开（以 x = 0 x = 0 x=0）：
1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n 1−x1=n=0∑∞xn
推导过程：
可以直接利用几何级数公式：
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n 1−x1=1+x+x2+x3+⋯=n=0∑∞xn
或用导数计算也可以验证。
收敛域：
∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1
6. arctan x \arctan x arctanx
表达式：
f ( x ) = arctan x f(x) = \arctan x f(x)=arctanx
泰勒展开（以 x = 0 x = 0 x=0）：
arctan x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 \arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} arctanx=n=0∑∞(−1)n2n+1x2n+1
推导过程：
求导：
f ′ ( x ) = 1 1 + x 2 = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n , for ∣ x ∣ < 1 f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n},\quad \text{for } |x| < 1 f′(x)=1+x21=n=0∑∞(−1)nx2n,for ∣x∣<1
对上式积分即可得：
arctan x = ∫ 0 x 1 1 + t 2 d t = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 2 n + 1 \arctan x = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} \, dt = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} arctanx=∫0x1+t21dt=n=0∑∞(−1)n2n+1x2n+1
收敛域：
∣ x ∣ ≤ 1 |x| \leq 1 ∣x∣≤1，在 x = ± 1 x = \pm 1 x=±1 处条件收敛。
7. sinh x \sinh x sinhx
表达式：
f ( x ) = sinh x = e x − e − x 2 f(x) = \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} f(x)=sinhx=2ex−e−x
泰勒展开（以 x = 0 x = 0 x=0）：
sinh x = x + x 3 3 ! + x 5 5 ! + ⋯ \sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots sinhx=x+3!x3+5!x5+⋯
推导过程：
由 e x e^x ex 和 e − x e^{-x} e−x 展开后相减即可得出，只剩下奇数次幂项。
收敛域：
( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)
8. cosh x \cosh x coshx
表达式：
f ( x ) = cosh x = e x + e − x 2 f(x) = \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} f(x)=coshx=2ex+e−x
泰勒展开（以 x = 0 x = 0 x=0）：
cosh x = 1 + x 2 2 ! + x 4 4 ! + ⋯ \cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots coshx=1+2!x2+4!x4+⋯
推导过程：
同理，由 e x + e − x e^x + e^{-x} ex+e−x 展开后相加即可得出，只剩偶数次项。
收敛域：
( − ∞ , ∞ ) (-\infty, \infty) (−∞,∞)
是否需要我接着补充如 tan x \tan x tanx、 ln ( 1 − x ) \ln(1 - x) ln(1−x)、 ( 1 + x ) a (1 + x)^a (1+x)a、 1 1 + x 2 \frac{1}{1 + x^2} 1+x21 等函数的推导？
一、函数 f ( x ) = e x f(x) = e^x f(x)=ex
推导表格（在 x = 0 x=0 x=0 展开）
| 项目 / 阶数 | 1阶导数 | 2阶导数 | 3阶导数 | 4阶导数 | 5阶导数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 导函数表达式 | e x e^x ex | e x e^x ex | e x e^x ex | e x e^x ex | e x e^x ex |
| 导函数在 x = 0 x=0 x=0 处的值 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 | 1 1 1 |
| 麦克劳林展开项 | x 1 1 ! \frac{x^1}{1!} 1!x1 | x 2 2 ! \frac{x^2}{2!} 2!x2 | x 3 3 ! \frac{x^3}{3!} 3!x3 | x 4 4 ! \frac{x^4}{4!} 4!x4 | x 5 5 ! \frac{x^5}{5!} 5!x5 |
带入麦克劳林公式：
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots ex=n=0∑∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+⋯
收敛域 ：全集 R \mathbb{R} R，即任意 x x x 上都收敛。
二、函数 f ( x ) = sin x f(x) = \sin x f(x)=sinx
推导表格（在 x = 0 x=0 x=0 展开）
| 项目 / 阶数 | 1阶导数 | 2阶导数 | 3阶导数 | 4阶导数 | 5阶导数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 导函数表达式 | cos x \cos x cosx | − sin x -\sin x −sinx | − cos x -\cos x −cosx | sin x \sin x sinx | cos x \cos x cosx |
| 导函数在 x = 0 x=0 x=0 处的值 | 1 1 1 | 0 0 0 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 |
| 麦克劳林展开项 | x 1 ! \frac{x}{1!} 1!x | 0 0 0 | − x 3 3 ! -\frac{x^3}{3!} −3!x3 | 0 0 0 | x 5 5 ! \frac{x^5}{5!} 5!x5 |
带入麦克劳林公式：
sin x = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots sinx=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯
收敛域 ：全集 R \mathbb{R} R
三、函数 f ( x ) = cos x f(x) = \cos x f(x)=cosx
推导表格（在 x = 0 x=0 x=0 展开）
| 项目 / 阶数 | 1阶导数 | 2阶导数 | 3阶导数 | 4阶导数 | 5阶导数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 导函数表达式 | − sin x -\sin x −sinx | − cos x -\cos x −cosx | sin x \sin x sinx | cos x \cos x cosx | − sin x -\sin x −sinx |
| 导函数在 x = 0 x=0 x=0 处的值 | 0 0 0 | − 1 -1 −1 | 0 0 0 | 1 1 1 | 0 0 0 |
| 麦克劳林展开项 | 0 0 0 | − x 2 2 ! -\frac{x^2}{2!} −2!x2 | 0 0 0 | x 4 4 ! \frac{x^4}{4!} 4!x4 | 0 0 0 |
带入麦克劳林公式：
cos x = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots cosx=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯
收敛域 ：全集 R \mathbb{R} R
四、函数 f ( x ) = ln ( 1 + x ) f(x) = \ln(1 + x) f(x)=ln(1+x)
推导表格（在 x = 0 x=0 x=0 展开）
| 项目 / 阶数 | 1阶导数 | 2阶导数 | 3阶导数 | 4阶导数 | 5阶导数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 导函数表达式 | 1 1 + x \frac{1}{1 + x} 1+x1 | − 1 ( 1 + x ) 2 -\frac{1}{(1 + x)^2} −(1+x)21 | 2 ( 1 + x ) 3 \frac{2}{(1 + x)^3} (1+x)32 | − 6 ( 1 + x ) 4 -\frac{6}{(1 + x)^4} −(1+x)46 | 24 ( 1 + x ) 5 \frac{24}{(1 + x)^5} (1+x)524 |
| 导函数在 x = 0 x=0 x=0 处的值 | 1 1 1 | − 1 -1 −1 | 2 2 2 | − 6 -6 −6 | 24 24 24 |
| 麦克劳林展开项 | x 1 ! \frac{x}{1!} 1!x | − x 2 2 ! -\frac{x^2}{2!} −2!x2 | 2 x 3 3 ! \frac{2x^3}{3!} 3!2x3 | − 6 x 4 4 ! -\frac{6x^4}{4!} −4!6x4 | 24 x 5 5 ! \frac{24x^5}{5!} 5!24x5 |
带入麦克劳林公式：
ln ( 1 + x ) = x − x 2 2 + x 3 3 − x 4 4 + ⋯ = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} ln(1+x)=x−2x2+3x3−4x4+⋯=n=1∑∞(−1)n+1nxn
收敛域 ： − 1 < x ≤ 1 -1 < x \le 1 −1<x≤1，在 x = 1 x=1 x=1 条件下极限为 ln 2 \ln 2 ln2，故为条件收敛。
五、函数 f ( x ) = 1 1 − x f(x) = \frac{1}{1 - x} f(x)=1−x1
推导表格（在 x = 0 x=0 x=0 展开）
| 项目 / 阶数 | 1阶导数 | 2阶导数 | 3阶导数 | 4阶导数 | 5阶导数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 导函数表达式 | 1 ( 1 − x ) 2 \frac{1}{(1-x)^2} (1−x)21 | 2 ( 1 − x ) 3 \frac{2}{(1-x)^3} (1−x)32 | 6 ( 1 − x ) 4 \frac{6}{(1-x)^4} (1−x)46 | 24 ( 1 − x ) 5 \frac{24}{(1-x)^5} (1−x)524 | 120 ( 1 − x ) 6 \frac{120}{(1-x)^6} (1−x)6120 |
| 导函数在 x = 0 x=0 x=0 处的值 | 1 1 1 | 2 2 2 | 6 6 6 | 24 24 24 | 120 120 120 |
| 麦克劳林展开项 | x x x | x 2 x^2 x2 | x 3 x^3 x3 | x 4 x^4 x4 | x 5 x^5 x5 |
带入麦克劳林公式：
1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ = ∑ n = 0 ∞ x n \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \sum_{n=0}^\infty x^n 1−x1=1+x+x2+x3+⋯=n=0∑∞xn
收敛域 ： ∣ x ∣ < 1 |x| < 1 ∣x∣<1
是否需要我继续为例如 arctan x \arctan x arctanx、 sinh x \sinh x sinhx、 tanh x \tanh x tanhx、 1 1 + x 2 \frac{1}{1+x^2} 1+x21 等函数做类似表格推导？