红黑树，B树，二叉树之间的不同

二叉树

二叉树是一种树状结构，每个节点最多只有两个子节点：左子节点和右子节点。

结构

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这里：

A是根节点
B和C是A的子节点
D和E是B的子节点
F是C的子节点

基本术语

节点（Node）：树的每个元素，比如A、B、C
根节点（Root）：树的最顶端节点，比如以上示例的A
叶子节点（Leaf）：没有子节点的节点（D、E、F）
子节点（Child）：某节点的直接下级节点（B是A的子节点，D是B的子节点）
父节点（Parent）：某节点的上级节点（D的父节点是B，B的父节点是A）
深度（Depth）：节点到根的距离（层数）
高度（Height）：节点到叶子节点的最长路径

	深度（Depth）	高度（Height）
定义	节点到根的距离（层数）	节点到叶子的最长路径（层数）
例子	根深度为0，叶子深度为最大	叶子高度为0，树根高度最大，反映从节点到叶子路径

深度和高度不同，不要搞错了。

类型

类型	描述	举例
普通二叉树	任意节点最多两个子节点	上面示意的树
满二叉树	所有叶子节点都在同一层，且每个非叶子节点有两个子节点	每层的节点数都满
完全二叉树	除最后一层外，每层节点都满，最后一层节点尽可能集中在左侧	完全二叉堆
平衡二叉树	任意节点左右子树高度差不超过1	AVL树、红黑树

遍历方式

前序遍历（Pre-order）：根 -> 左子树 -> 右子树
中序遍历（In-order）：左子树 -> 根 -> 右子树
后序遍历（Post-order）：左子树 -> 右子树 -> 根
层序遍历（Level-order）：按层从上到下、从左到右

示例：

假设树如下：

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前序：A -> B -> D -> E -> C -> F
中序：D -> B -> E -> A -> C -> F
后序：D -> E -> B -> F -> C -> A
层序：A, B, C, D, E, F

性质

节点数关系：

在一棵二叉树中，节点总数为：

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                      ∇=叶子节点数+非叶子节点数

深度与高度：
- 树的深度（层数）越多，树越高
- 平衡的二叉树操作通常为了减少树的高度，以优化性能

二叉搜索树

对于树中的每个节点：

左子树上所有节点的值都小于这个节点的值
右子树上所有节点的值都大于这个节点的值
这样，整棵树就按照"二叉搜索树的性质"排序了。

实例

假设插入数字：10, 5, 15, 3, 7

结构大致是：

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每个节点左边都比它小，右边都比它大
可以快速实现搜索、插入、删除

作用

快速查找：通过中序遍历，得到一个有序序列
基础结构：很多复杂的树（如AVL、红黑树）都是在BST基础上改进的
应用广泛：数据库索引、字典等

平衡二叉树

平衡二叉树是一类特殊的二叉搜索树，其任何节点的左右子树的高度差（平衡因子）都不超过1。这样保证树的高度始终保持在 logn 的级别。

使用平衡二叉树的原因

普通BST在极端情况下可能退化成链表：
- 比如按顺序插入有序数据，会形成一条长链，查找变为线性时间 O(n)。
平衡树维持树的高度最小化，保证查找、插入、删除操作高效。

常见的平衡二叉树

AVL树（Adelson-Velsky and Landis Tree）
- 平衡因子（Balance factor）：每个节点左子树高度减右子树高度，要求为-1、0、1。
- 每次插入或删除后，可能需要"旋转"操作来修复平衡。
红黑树
- 性质：每个节点是红或黑，满足特定规则，使树始终大致平衡。
- 特点：插入、删除后通过"变色"和"旋转"保持平衡，常用于Java的TreeMap、C++的map。

实例

以AVL树为例：如何保持平衡

插入/删除节点后：
- 从插入位置向上回溯，检测每个节点的平衡因子
- 如果某个节点的平衡因子超出范围（>1 或 <-1），就需要"旋转"调整
旋转类型：
左旋（Single Left Rotation）
右旋（Single Right Rotation）
左右旋（Left-Right Rotation）
右左旋（Right-Left Rotation）

这些旋转操作帮助重新平衡树，保持每个节点的平衡因子在允许范围内。

旋转

单旋转

LL旋转（左左不平衡 -> 右旋）

场景：

插入新节点后，左子树的左子节点变得过高，导致树左侧"倾斜"。

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    不平衡前                     旋转后
        A                            B
       /                            / \
      B        ------ 右旋 ------          C   A
     /                                
    C

将A进行右旋转将节点B作为新的根节点，A成为B的右子节点，C（原B的左子节点）作为A的左子节点。
RR旋转（右右不平衡 -> 左旋）

场景：

插入新节点后，右子树的右子节点变得过高。

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  不平衡前                     旋转后
      A                             B
       \                         /   \
        B        ------ 右旋 ------      A     C
           \                           \
            C                           D

将A左旋转成为左节点

双旋转

LR旋转（左-右不平衡）

场景：

左子树的右子树高，需先左旋左子树，再右旋根节点。

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不平衡前                         旋转后
       A                              
      /                             
     B        ------ 先左旋 B 在右旋A ------   B   
      \                            /  \ 
       C                          C    A

总结

特点	说明
每个节点的平衡因子（左右子树高度差）	≤ 1 \leq 1 ≤1（即-1, 0, 1）
保持树的高度在 log ⁡ n \log n logn 级别	确保操作时间为 $O(\\log n)$
通过旋转调整平衡	在插入、删除操作后自动修复

旋转子树时其他不变，当子树旋转结束后，谁是子树根节点，全树的根节点就连接谁。

红黑树

红黑树是一类自平衡的二叉搜索树，它通过"颜色标记"以及一系列规则，确保树的高度大致平衡，从而在插入、删除和查找操作中实现 O(logn) 的时间复杂度。

节点属性

每个节点有：

一个值（数据）
一个颜色（红或黑）
- 在红黑树的定义中，黑色节点的数量（黑高）决定了路径的长度，而红色节点只是"装饰"
- 红节点不增加黑色节点的数量，只是"点缀"，用于调节树结构。
- 黑节点：像"楼层数"，决定了路径的基本高度。
- 红节点：像"楼层之间的装饰"，不会加高，但帮助控制设计。
指向左右子节点的指针
指向父节点的指针（有的实现会有）

结构

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        (8B)
       /     \
    (4R)     (12R)
    /  \      /   \
 (2B) (6B) (10B) (14B)

R代表红色，B代表黑色

关键属性

节点是红色或黑色
根节点是黑色
- 保持树的"起点"黑色，有助于维护路径上黑色节点的平衡。
- 这样可以避免频繁出现连续的红色起点，也简化性质的维护。
所有叶子（NIL节点，即空子节点）都是黑色
- 方便统一处理空子节点，简化算法设计。
- 通过将叶子定义为黑色，确保路径中的黑色节点计数一致。
红色节点的子节点必须是黑色（不能连续两个红节点）
- 连续的红色节点会导致路径中的黑色节点数变少，从而使树高度偏高，平衡性差
从任何节点到叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点（黑色平衡）

作用与优势

保持树的平衡：通过颜色规则避免树变得太高（退化为链表）。
保证操作效率：插入、删除、查找都在 O(logn) 范围内。

插入操作

插入新节点类似BST：

新节点总是插入为红色（为了不是破坏黑色平衡）
然后修复颜色和旋转，保持红黑性质

插入修复（修复红色连续性）

可能出现：

红节点的父节点也是红色（违反性质 4）

修复方法：

情况1：叔叔节点为红色

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D的父节点是 B。
B的兄弟节点（父节点的兄弟）就是 C。
- 将父节点和叔叔节点变为黑色
- 将祖父节点变为红色
- 继续向上修正
情况2：叔叔节点为黑色或不存在（空节点）
- 进行左旋或右旋调整，以恢复性质，往往以"旋转+颜色调整"完成

状况	处理方法
父节点是红色，叔叔节点是红色	变色 + 重新向上修复
父节点是红色，叔叔节点是黑色（或不存在）	旋转 + 变色（形成左右旋转的调整）

例：

插入节点7

作为红色节点插入
如果父节点是黑色，无需调整
如果父节点是红色（出现连续红色），进行旋转和颜色调整

删除操作

类似BST，但需要调整来恢复红黑性质
可能涉及"向下传递"的颜色和旋转调整

核心思想

红黑树通过限制"连续红节点"和"黑色路径长度一致"，保证树的高度在"对数级"
调整主要依靠颜色变换和旋转

总结

特性	描述
节点颜色	每个节点是红或黑
根节点	必须是黑色
叶子节点（NIL）	全部是黑色，作为叶节点，用来简化算法
红色节点的子节点	必须是黑色（不能连续两个红色节点）
所有路径的黑色节点数相同	从根到任意叶子路径，黑色节点数一致（黑高平衡）

如果出现连续红节点会出现的问题：

形成连续的红色链（如：连续三个红色节点），
破坏黑色节点平衡的性质（因为黑色节点数变少了），
使得树的高度可能增长，变得不平衡。

红黑树的设计宗旨是限制红色链的长度：

规则"红色节点的子节点必须是黑色"，实际上限制了连续红色的长度最多为1。
这样，路径上的红色节点最多只有一层，避免了"红色链"无限长，从而保证树的平衡。

B树

B树是一棵阶数为 m 的多路平衡搜索树。
每个节点最多有 m 个子节点（即 m-1 个关键字）。

基本性质

每个内部节点（非叶子节点）：
- 含有 k (m/2 - 1 ≤ k ≤ m-1) 个关键字
- 有 k+1 个子节点
所有叶子节点在同一层（树的高度平衡）。
每个节点（除了根节点），关键字数都在允许范围内。
根节点：
- 可以只有1个关键字（或更少，视具体定义而定），但一般至少有一个关键字，除非树为空。

具体阶数

阶（阶数）为 m
每个节点（除了叶子）至少有 ⌊m/2⌋ 个关键字（除了根）
每个节点最多有 m-1 个关键字

结构特点

特性	描述
多路	每个内部节点可以有多个子节点（非二叉树）。
平衡	所有叶子节点在同一层，保证查找、插入、删除的平均和最坏时间都 O(log n)。
关键字存储	节点内存放有序的关键字，用于导航搜索。
节省空间	由于多个关键字在一节点，减少树的高度，从而减少磁盘操作。

操作

1. 查找
- 从根节点开始，比较目标值与当前节点的关键字。
- 根据比较结果，沿对应子节点递归查找。
- 直到找到目标或到达叶子。
2. 插入
- 先找到插入位置（类似查找），在叶子节点插入。
- 如果叶子已满（达到最大关键字数），则分裂：
  - 将中间关键字上升到父节点
  - 分裂成两个节点
- 如果父节点也满，则递归向上分裂。
3. 删除
- 找到目标关键字所在节点：
  - 如果是叶子，直接删除。
  - 如果是内部节点，用前驱或后继节点替换，然后再删除叶子中的值。
- 如果删除后节点关键字数少于最小（合规性），需要借兄弟节点或合并节点。

与B+树的区别

B树：所有节点（内部和叶子）都存关键字。
B+树：只有叶子存关键字，内部节点存索引，支持更高的查询效率。

实例

假设 m=4（阶为4）：

每个节点最多有 3 个关键字和 4 个子节点。
每个非根节点至少有 2 个关键字（即⌊4/2⌋）。

简单的B树结构：

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        [10, 20]
       /    |    \
  [5, 7]  [12, 15] [22, 25]

节点类型	关键字	子节点说明	叶子或非叶子
根节点	`[10, 20]`	3个子节点： - 小于10 - 10到20之间 - 大于20	非叶子
左子节点	`[5, 7]`	无子节点（叶子） (如果它是叶子)	叶子
中左子节点	`[12, 15]`	无子节点（叶子）	叶子
右子节点	`[22, 25]`	无子节点（叶子）	叶子

如果这是一个完整的B树，这些叶子可以在同一层，存放实际数据（例如：具体的元素值）。
叶子节点中的关键字存放实际数据，或者指向存放数据的存储位置。

节点类型	存放内容	作用
内部节点（非叶子）	索引/导航用的关键字	引导搜索，决定下一步到哪个子节点
叶子节点	存放实际数据或数据指针	具体的数据存储点；支持范围查询和顺序扫描

内部节点：
- $10, 20\]，用来引导：\<10，10到20，\>20$
- $5, 7\]，\[12, 15\] ，\[22, 25\]，存放实际数据元素。$