算法笔记·数学·扩展欧几里得算法

xin007hoyo2025-05-28 16:55

题目：（AcWing）

给定 n 对正整数 ai,bi，对于每对数，求出一组 xi,yi，使其满足 ai×xi+bi×yi=gcd(ai,bi)。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含两个整数 ai,bi。

输出格式

输出共 n 行，对于每组 ai,bi，求出一组满足条件的 xi,yi，每组结果占一行。

本题答案不唯一，输出任意满足条件的 xi,yi 均可。

数据范围

1≤n≤105,

1≤ai,bi≤2×109

输入样例：

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2
4 6
8 18

输出样例：

复制代码

-1 1
-2 1

扩展欧几里得：

即求解方程ax+by=gcd(a,b) （a,b的最大公约数）的一种方法

举个简单的栗子：

令a = 5, b = 18,求x,y.

解：3 = 18 - 5*3 #1； 2 = 5 - 3 #2； 1 = 3 - 2 #3；

将式#1#2代入#3，则有1 = (18 - 5*3 )-(5 - (18 - 5*3)) = 18-5*3-5+18-5*3 = 5*(-7) + 18*2

故x = -7,y = 2;

不妨设递推的两层变量为,公约数均为c

有方程，,

根据欧几里得算法

cpp 复制代码

int gcd(int a,int b)
{
    if(a%b == 0) return b;
    return gcd(b,a%b);
}

易得，

代入一式得，

对比式二系数，知,

又递推到a%b == 0时，可知除数b即为最大公约数c，0*a + 1*b = c, 即 x = 0 , y = 1。

那么可推得上一层a%b == c，则显然,所以 x = 1, y=-1,符合递推公式。

代码实现：

cpp 复制代码

#include<iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int& x,int &y)
{
    if(a%b == 0)//当a整除b时，b就是最大公约数
    {
        //根据公式ax+by = gcd(a,b);
        x = 0;
        y = 1;
        return b;
    }
    
    int d = exgcd(b,a%b,x,y);
    int t = x;
    x = y;
    y = t - a/b*y;
    return d;
}

int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b,x,y;
        cin>>a>>b;
        x = y = 0;
        exgcd(a,b,x,y);
        cout <<x<<" "<<y<<endl;
    }
    return 0;
}