动态规划-931.下降路径最小和-力扣(LeetCode)

1白天的黑夜12025-05-30 8:55

一、题目解析

从最顶上出发，有三个位置选择，左中下(边界除外)，使其走到最下面时下降路径最小。

二、算法原理

1、状态表示

我们需要的是到达 $i,j$ 的最小路径和，所以此时dp $i$ $j$ 表示：到达 $i,j$ 位置时，最小的下降路径

2、状态转移方程

对于某个位置有三种下降方式，自然也就有三种到达该位置的方式

dp $i$ $j$ 从 $i-1,j-1$ -> $i,j$ ->dp $i-1$ $i-1$ +matrix $i$ $j$

从 $i-1,j$ -> $i,j$ ->dp $i-1$ $j$ +matrix $i$ $j$

从 $i-1$ $j+1$ -> $i,j$ ->dp $i-1$ $j+1$ +matrix $i$ $j$

dp $i$ $j$ =min(dp $i-1$ $j-1$ +matrix $i$ $j$ ,min(dp $i-1$ $j$ +matrix $i$ $j$ ,dp $i-1$ $j+1$ +matrix $i$ $j$ ))

3、初始化

除了最上面一排初始化为0，其余位置要初始化为最大值，由于min的原因，如果都初始化为0，则会计算出错

4、填表顺序

从上往下，从左往右

5、返回值

由于到达最下面就停止了，所以取最后一排的最小值

自己动手实现一下吧，链接：931. 下降路径最小和 - 力扣（LeetCode）

三、代码示例

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int minFallingPathSum(vector<vector<int>>& matrix) {
        int n = matrix.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(n+2,INT_MAX));
        for(int j = 0;j<n+2;j++) dp[0][j] = 0;
        for(int i = 1;i<=n;i++)
        {
            for(int j = 1;j<=n;j++)
            {
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1],min(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])) + matrix[i-1][j-1];
            }
        }
        int ret = INT_MAX;
        for(int j = 1;j<=n;j++) ret = min(ret,dp[n][j]);
        return ret;
    }
};

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