今天我们用 「预测考试是否及格」 的例子来讲解逻辑回归，从原理到实现一步步拆解，保证零基础也能懂！
🎯 例子背景
假设你是班主任，要根据学生的「学习时间」预测「是否及格」，手上有以下数据：
| 学习时间(h) | 是否及格（1=是，0=否） |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 0 |
| 3 | 1 |
| 4 | 1 |
| 5 | 1 |
新问题：学习3.5小时的学生，及格概率有多大？
🌟 逻辑回归核心思想
不是直接预测类别，而是计算属于某类的概率
比如：P(及格|学习3.5h) = 70% → 若阈值设50%，则判定为及格
🔑 关键特点
-
输出范围在0~1之间（概率）
-
用S型函数（Sigmoid） 将线性结果转为概率
📈 原理分步拆解
1. 先做线性回归
临时计算 z = a×学习时间 + b
（比如初始假设：z = 0.6×时间 - 1.5）
2. 通过Sigmoid函数转概率
公式：
P(及格) = 1 / (1 + e^(-z))
-
当z=0时，P=0.5
-
z越大，P越接近1；z越小，P越接近0
3. 计算示例
对于学习3.5小时：
z = 0.6×3.5 - 1.5 = 0.6
P = 1 / (1 + e^(-0.6)) ≈ 0.65
→ 及格概率65%
🛠️ Python代码实现
1. 基础版（手写核心逻辑）
python
import numpy as np
# Sigmoid函数
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))
# 假设参数
a = 0.6 # 斜率
b = -1.5 # 截距
# 预测函数
def predict(hours):
z = a * hours + b
return sigmoid(z)
print("学习3.5小时及格概率:", predict(3.5)) # 输出: 0.652. 实战版（用scikit-learn）
python
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
import numpy as np
# 准备数据
X = np.array([1, 2, 3, 4, 5]).reshape(-1, 1) # 学习时间
y = np.array([0, 0, 1, 1, 1]) # 是否及格
# 训练模型
model = LogisticRegression()
model.fit(X, y)
# 预测新数据
new_hour = np.array([[3.5]])
prob = model.predict_proba(new_hour)[0][1] # 获取概率
print(f"及格概率: {prob:.2%}") # 输出: 64.94%
# 查看参数
print(f"方程: z = {model.coef_[0][0]:.2f}×时间 + {model.intercept_[0]:.2f}")📊 决策边界可视化
python
import matplotlib.pyplot as plt
# 绘制数据点
plt.scatter(X, y, color=['red' if i==0 else 'blue' for i in y], label='真实数据')
# 生成概率曲线
X_test = np.linspace(0, 6, 100).reshape(-1,1)
prob_curve = model.predict_proba(X_test)[:,1]
plt.plot(X_test, prob_curve, 'g-', label='概率曲线')
# 标记决策边界（P=0.5对应的X值）
decision_boundary = -model.intercept_ / model.coef_[0]
plt.axvline(x=decision_boundary, linestyle='--', color='black', label='决策边界')
plt.xlabel('学习时间(h)')
plt.ylabel('概率')
plt.legend()
plt.show()决策边界约在2.5小时（P=0.5的位置）*
🌟 关键知识点
-
阈值可调
- 默认0.5，可根据需求调整（如医疗诊断需更高阈值）
-
为什么叫"回归"
- 底层用了线性回归，只是加了Sigmoid转换
-
多分类扩展
- 用Softmax代替Sigmoid可处理多分类（如预测ABC等级）
-
评估指标
- 常用准确率、ROC曲线、AUC值
🆚 vs 线性回归
| 特性 | 逻辑回归 | 线性回归 |
|---|---|---|
| 输出 | 概率值（0~1） | 任意实数 |
| 应用 | 分类问题（如是否垃圾邮件） | 预测数值（如房价） |
| 函数 | Sigmoid | 直接线性输出 |
💡 常见问题
Q：特征需要标准化吗？
A：最好做！逻辑回归虽不受量纲影响，但能加速收敛。
Q：学习时间6小时预测概率>1？
A：不会！Sigmoid函数永远输出0~1之间。
总结：逻辑回归就是
① 线性计算 → ② 概率转换 → ③ 阈值判断
像老师通过学习时间判断学生及格可能性，既简单又实用！ 🎓→📈