想象两个世界，它们有两个不同的概率分布。其中一个概率分布 p 描述了事物的真实模式，也就是每个事件实际发生的频率。另一个概率分布 q 是你的信念或是模型认为的，这些相同事件的概率分布情况。
Kullback-Leibler 散度（KL 散度）衡量的是，如果你生活在世界 p 中，但仍然相信 q，你会经历多少额外的"意外"。
如果 q 与 p 完全匹配，那么你看到的每个事件都与预期完全一致，没有额外的意外。但如果 q 是错误的，那么从 p 观察到的每一个事件都会带来惩罚，你的预测总是会有点偏差。
从数学上讲，它表示为：
D_{KL}(p\|q) = \sum_x p(x)\,\log \frac{p(x)}{q(x)}。
你也可以将其视为两个熵之间的差：
D_{KL}(p\|q) = H(p,q) - H(p)，
其中 H(p) 是真实熵（世界真正的不确定性程度），H(p,q) 是交叉熵（如果用 q 代替，你感觉的不确定性程度）。
所以，KL 散度确实是"熵"家族的一部分。如果熵告诉你世界的不确定性程度，交叉熵告诉你你认为世界的不确定性程度，那么 KL 散度告诉你"你的想法"与事实的偏差程度。
这里有一个神奇的事情，KL散度永远是非负的！
实际上，对于所有分布 p、q，D_{KL}(p \| q) = 0，并且只有当 p(x) = q(x) 时，等式才成立。
对数对低估（q(x) < p(x)）的惩罚远比对高估（q(x) > p(x)）的奖励更严厉！
这完全符合直觉，对数函数是不对称的，所以当 q 的概率质量太小而 p 的概率质量很大时，惩罚的爆发速度比任何小的高估都能弥补的速度要快得多。
这就是为什么，"负"区域无法抵消"正"区域。从数学上讲，正是这种不对称性使得对数比的期望 E_p[\log(p/q)] 始终为非负值。
简短清晰地证明 D_{KL}(p\|q) ≥ 0（吉布斯不等式）。
下面将使用 Jensen 不等式（通过 -\log 的凸性）给出标准的简洁论证，然后说明相等条件。
设 p 和 q 是同一离散空间上的概率分布，KL 散度为
D_{KL}(p\|q)=\sum_x p(x)\,\log\frac{p(x)}{q(x)}。
将其重写为期望：
D_{KL}(p\|q)=\mathbb{E}_{p}\!\left[\log\frac{p(X)}{q(X)}\right] = \mathbb{E}_p\!\big[-\log\!\big(\tfrac{q(X)}{p(X)}\big)\big]。
现在将 Jensen 不等式应用于凸函数 f(u)=-\log u。Jensen 表示：
\mathbb{E}_p[f(Z)] \ge f(\mathbb{E}p[Z])
对于任意随机变量 Z，取 Z=\dfrac{q(X)}{p(X)}，则
D_{KL}(p\|q) = \mathbb{E}_p\!\big[-\log(Z)\big] \ge -\log\!\big(\mathbb{E}_p[Z]\big)。
计算 \mathbb{E}_p[Z]:
\mathbb{E}_p\!\left[\frac{q(X)}{p(X)}\right] = \sum_x p(x)\frac{q(x)}{p(x)}=\sum_x q(x)=1。
因此
D_{KL}(p\|q) \ge -\log(1)=0。
等式条件：Jensen 不等式是严格的，当且仅当 Z 在 p 下几乎必然为常数，即对于每个满足 p(x)>0 的 x，\frac{q(x)}{p(x)} 相等。因为 p 和 q 都经过归一化处理，所以该常数必定为 1，因此对于所有 p(x)>0 的 x，q(x)=p(x)。因此，D_{KL}(p\|q)=0，当且仅当 p=q（在 p 的支持集上）。
快速推论，因为 D_{KL}(p\|q)=H(p,q)-H(p)，D_{KL} 的非负性意味着 H(p,q)≥H(p)，也就是说，交叉熵始终大于等于真实熵，而只有当模型与真实分布匹配时，交叉熵才等于真实熵。