从线性方程组角度理解公式 s=n−r(3E−A)

从线性方程组角度理解公式 s=n−r(3E−A)

这个公式本质上是 ​齐次线性方程组解空间维度 的直接体现。下面通过三个关键步骤解释其在线性方程组中的含义:


1. ​公式对应的线性方程组

考虑矩阵方程:

(3E−A)x=0

其中:

  • x 是 n 维未知向量
  • 3E−A 是系数矩阵(n×n 阶)
  • 0 是零向量

几何意义

该方程组描述所有被线性变换 A 缩放 3 倍的向量(即满足 Ax=3x 的向量)。


2. ​解空间的维度 = 几何重数 s

  • 方程组的 解集 构成一个向量空间(称为 特征子空间)。
  • **s 的物理意义**:
    解空间的维度,即线性无关解的个数。
    例如:
    • 若 s=2,解空间是一个平面(2 个自由方向)
    • 若 s=1,解空间是一条直线(1 个自由方向)

3. ​秩 r(3E−A) 的约束作用

秩的线性方程组解释:
  • 秩 r = 系数矩阵 3E−A 中 有效约束方程的数量
  • 秩与自由度的关系:总变量数 独立约束数 自由变量数 nrs=n−r
示例(n=3):
秩 r 约束效果 解空间维度 s 几何描述
r=0 无约束(所有方程退化) s=3 整个 3D 空间
r=1 1 个有效约束(如 x+y+z=0) s=2 一个平面
r=2 2 个独立约束 s=1 一条直线
r=3 3 个独立约束(满秩) s=0 仅零解(非特征向量)

4. ​公式的物理意义

s=n−r(3E−A)​

  • 分子:系统的总自由度(n 个变量)
  • 分母:施加的独立约束数量(秩 r)
  • 结果:剩余的自由度(即特征方向的个数)

这本质上是 ​秩-零化度定理(Rank-Nullity Theorem)​ 的直接应用:
dim(解空间)+\rank(系数矩阵)=变量总数


应用实例

设 3 阶矩阵 A 的特征值 λ=3(代数重数 2):

  • 情况 1 :r(3E−A)=1

    → s=3−1=2

    → 解空间是 2 维平面 → 存在 2 个线性无关特征向量 → 矩阵可对角化。

  • 情况 2 :r(3E−A)=2

    → s=3−2=1

    → 解空间是 1 维直线 → 仅 1 个线性无关特征向量 → 矩阵不可对角化(需用若尔当标准型)。


总结:线性方程组的视角

  1. **s 是特征方程的自由度**:
    描述 Ax=3x 的解空间的"活动空间大小"。
  2. 秩 r 是约束强度
    秩越高 → 约束越强 → 特征方向越少。
  3. 公式的核心
    通过系数矩阵的秩,量化了特征子空间的维度。
    这在求解特征向量、判断矩阵对角化可能性时有核心应用
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