HDU-2973 YAPTCHA - 技术栈

先把题目中的公式弄过来。

S n = ∑ k = 1 n ⌊ ( 3 k + 6 ) ! + 1 3 k + 7 − ⌊ ( 3 k + 6 ) ! 3 k + 7 ⌋ ⌋ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\lfloor\frac{(3k+6)!+1}{3k+7}-\lfloor\frac{(3k+6)!}{3k+7}\rfloor\rfloor Sn=k=1∑n⌊3k+7(3k+6)!+1−⌊3k+7(3k+6)!⌋⌋

首先，得先了解威尔逊定理

威尔逊定理（证明后续发）

对于一个素数 p p p，有：
( p − 1 ) ! ≡ − 1 ( m o d p ) (p-1)!\equiv-1(mod\ p) (p−1)!≡−1(mod p)

分析

然后通过威尔逊定理来分析题目。

我们设 x = 3 k + 7 x=3k+7 x=3k+7，那么上面的式子就变成了：
S n = ∑ k = 1 n ⌊ ( x − 1 ) ! + 1 x − ⌊ ( x − 1 ) ! x ⌋ ⌋ S_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\lfloor\frac{(x-1)!+1}{x}-\lfloor\frac{(x-1)!}{x}\rfloor\rfloor Sn=k=1∑n⌊x(x−1)!+1−⌊x(x−1)!⌋⌋

x是素数

由于威尔逊定理，当 x x x是素数时， ( x − 1 ) ! + 1 ≡ 0 ( m o d p ) (x-1)!+1\equiv0(mod\ p) (x−1)!+1≡0(mod p)，那么 ( x − 1 ) ! + 1 x \frac{(x-1)!+1}{x} x(x−1)!+1就一定是一个整数，所以 ⌊ ( x − 1 ) ! x ⌋ \lfloor\frac{(x-1)!}{x}\rfloor ⌊x(x−1)!⌋就是一个比 ( x − 1 ) ! + 1 x \frac{(x-1)!+1}{x} x(x−1)!+1小 1 1 1的整数，所以原式的值为 1 1 1。

x是合数

当 x x x是合数时，就一定有两个数 a a a和 b b b，满足 1 < a < b < x 1<a<b<x 1<a<b<x，所以 ( x − 1 ) ! x \frac{(x-1)!}{x} x(x−1)!就是一个整数。又由于 k ≥ 1 k\ge1 k≥1，所以 x > 1 x>1 x>1，那么 ( x − 1 ) ! + 1 x − ( x − 1 ) ! x < 0 \frac{(x-1)!+1}{x}-\frac{(x-1)!}{x}<0 x(x−1)!+1−x(x−1)!<0，可以得出 ⌊ ( x − 1 ) ! + 1 x − ( x − 1 ) ! x ⌋ = 0 \lfloor\frac{(x-1)!+1}{x}-\frac{(x-1)!}{x}\rfloor=0 ⌊x(x−1)!+1−x(x−1)!⌋=0

总结

所以综上可得，只需要判断 x x x，即 3 k + 7 3k+7 3k+7是不是素数，问题就迎刃而解了。

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
#define endl putchar('\n')
using namespace std;
const int N=5e6+5;
int read(){
	int x=0,f=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
	return x*f;
}
void print(int x){
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x<10){putchar(x+'0');return;}
	print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int T;
int vis[N];
int p[N];
int cnt;
int f[N];
signed main(){
	for(int i=2;i<=3e6+10;i++){//素数筛
		if(!vis[i])p[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*p[j]<=3e6+10;j++)vis[i*p[j]]=1;
	}
	for(int i=1;i<=1e6;i++)f[i]=f[i-1]+(!vis[3*i+7]);//计算前缀和
	T=read();
	while(T--){
		print(f[read()]);
		endl;
	}
}