禹晶、肖创柏、廖庆敏《数字图像处理（面向新工科的电工电子信息基础课程系列教材）》
三、四、五这三章之间的关系
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲3卷积核（空域滤波器）
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲4FIR滤波器（频域滤波器设计）
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5LTI系统（图像复原）
这三部分实际上讲的是同一件事，都是LTI系统，对应线性卷积。
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲3卷积核和KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲4FIR滤波器之间的桥梁是卷积定理，时域卷积对应频域滤波。频域滤波器设计是利用频域设计滤波器，而不是说在频域滤波。FIR滤波器是在空域滤波器上定义的。
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \S at position 1: \̲S̲ ̲5LTI系统
假设原始图像 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，通过一个点扩散函数 h ( x , y ) h(x,y) h(x,y)（通常是模糊），并且观测的图像是 g ( x , y ) g(x,y) g(x,y)。数学上，这个过程可以用卷积来表示
g ( x , y ) = ( f ∗ h ) ( x , y ) + η ( x , y ) g(x,y) = (f * h)(x,y) + \eta(x,y) g(x,y)=(f∗h)(x,y)+η(x,y)
其中， ∗ * ∗表示卷积操作， η ( x , y ) \eta(x,y) η(x,y)表示加性噪声。
图像复原通常解决去模糊问题。这是因为系统通常造成高频截止。但是图像滤波也常用锐化滤波。
离散时间系统与数字滤波器
离散时间系统与数字滤波器的概念等效。
| 概念 | 数字滤波器中的名称 | 离散时间系统中的名称 | 数学表示 |
|---|---|---|---|
| 系统对脉冲的响应 | 卷积核（FIR滤波器） | 单位脉冲响应 h [ n ] h[n] h[n] | h [ n ] h[n] h[n]（相同的数学表达式） 两者是同一序列 h [ n ] h[n] h[n]的不同称呼。 |
| 作用 | 用于计算输出信号的加权和 | 描述系统动态特性的完整表征 | 输出 y [ n ] = x [ n ] ∗ h [ n ] y[n] = x[n] * h[n] y[n]=x[n]∗h[n] |
FIR滤波器 ： h [ n ] h[n] h[n]有限长，卷积核与单位脉冲响应本质是同一概念（ h [ n ] h[n] h[n]）。
- 数字滤波器 更关注 实现，因此直接称系数为"卷积核"或"滤波器抽头（Taps）"。
- 离散时间系统 更关注 ** 系统分析**，因此用"单位脉冲响应"描述系统特性。
图像滤波与图像复原
在信号处理中，图像滤波（Image Filtering） 和 图像复原（Image Restoration） 是两个相关但目标相反的任务。它们的核心区别在于 已知量 和 求解目标 的不同。
一、图像滤波（Image Filtering）
1. 定义
图像滤波是指给定原始图像 x x x和滤波器（或卷积核） h h h，通过某种运算得到输出图像 y y y的过程。
2. 数学表达
y = h ∗ x （卷积） y = h * x \quad \text{（卷积）} y=h∗x（卷积）
或者更一般地
y = H x （线性系统表示） y = Hx \quad \text{（线性系统表示）} y=Hx（线性系统表示）
其中
- x x x：输入图像（清晰/原始图像）
- h h h：滤波器（如高斯滤波、均值滤波、Sobel算子等）
- y y y：滤波后的输出图像
- ∗ * ∗表示卷积操作
3. 目标
- 去噪（如使用均值滤波、高斯滤波）
- 边缘检测（如使用 Sobel、Prewitt 等滤波器）
- 图像增强（如锐化（Unsharp Masking）、模糊）
4. 特点
- 正向问题：已知输入和系统，求输出
- 通常是线性操作（如卷积）
- 是图像复原的基础步骤之一
图像滤波例子
- 使用一个高斯滤波器 h h h对图像 x x x进行平滑，得到模糊图像 y y y
- 使用 Sobel 滤波器对图像 x x x提取边缘，得到边缘图 y y y
二、图像复原（Image Restoration）（Inverse Problem）
1. 定义
图像复原是指在已知退化图像 y y y的情况下，尝试恢复出原始图像 x x x，有时还需要估计退化系统 h h h。
2. 数学表达
y = h ∗ x + η （含噪声的退化模型） y = h * x + \eta \quad \text{（含噪声的退化模型）} y=h∗x+η（含噪声的退化模型）
或者
y = H x + η y = Hx + \eta y=Hx+η
其中
- y y y：观测到的退化图像（如模糊+噪声）
- h h h或 H H H：未知或部分已知的退化系统（如模糊核）
- x x x：原始图像（需要恢复的目标）
- η \eta η：加性噪声（如高斯噪声）
3. 目标
- 去除模糊（Deblurring）
- 去噪（Denoising）
- 超分辨率（Super-resolution）
- 恢复清晰图像
4. 分类
- 非盲复原 （Non-blind restoration）：已知模糊图像 y y y，且知道模糊核 h h h，求原始图像 x x x
- 盲复原 （Blind restoration）：已知模糊图像 y y y，但不知道模糊核 h h h，要求同时恢复 x x x和 h h h
两类子问题
(1) 非盲复原（已知 h h h，求 x x x）
模型
y = x ∗ h + n （已知 y 和 h ，求 x ） y = x * h + n \quad \text{（已知y和h，求x）} y=x∗h+n（已知y和h，求x）
方法
- 逆滤波（Inverse Filtering）
X ^ ( u , v ) = Y ( u , v ) H ( u , v ) （对噪声敏感） \hat{X}(u,v) = \frac{Y(u,v)}{H(u,v)} \quad \text{（对噪声敏感）} X^(u,v)=H(u,v)Y(u,v)（对噪声敏感） - 维纳滤波（Wiener Filter）
X ^ ( u , v ) = H ∗ ( u , v ) ∣ H ( u , v ) ∣ 2 + S n ( u , v ) S x ( u , v ) Y ( u , v ) \hat{X}(u,v) = \frac{H^*(u,v)}{|H(u,v)|^2 + \frac{S_n(u,v)}{S_x(u,v)}} Y(u,v) X^(u,v)=∣H(u,v)∣2+Sx(u,v)Sn(u,v)H∗(u,v)Y(u,v)
（ S n S_n Sn、 S x S_x Sx为噪声和信号的功率谱）。
(2) 盲复原（未知 h h h，联合求 x x x和 h h h）
模型
y = x ∗ h + n （已知 y ，求 x 和 h ） y = x * h + n \quad \text{（已知y，求x和h）} y=x∗h+n（已知y，求x和h）
方法
- 交替最小化 （如 Richardson-Lucy 算法）
h ← h ⋅ ( y x ∗ h ∗ x ) , x ← x ⋅ ( y x ∗ h ∗ h ) h \leftarrow h \cdot \left( \frac{y}{x * h} \ast x \right), \quad x \leftarrow x \cdot \left( \frac{y}{x * h} \ast h \right) h←h⋅(x∗hy∗x),x←x⋅(x∗hy∗h) - 深度学习方法 （如 CNN 估计 h h h和 x x x）。
5. 核心挑战
- 图像复原的病态性
- 解不唯一（如 h h h和 x x x的多种组合可生成相同的 y y y）。
- 对噪声敏感（高频信息丢失时，逆滤波会放大噪声）。
- 盲复原的复杂性
- 需额外约束（如 h h h的稀疏性、 x x x的平滑性）。
三、总结
- 图像滤波 是 从 x x x和 h h h到 y y y 的确定性过程。
- 图像复原 是 从 y y y反推 x x x或 h h h 的逆问题，需结合先验知识或数据驱动方法。
| 图像滤波 | 图像复原 | |
|---|---|---|
| 问题类型 | 正向问题（卷积） | 逆向问题（反卷积） |
| 输入 | 原始图像 x x x和滤波器 h h h | 退化图像 y y y（可能包含噪声） |
| 输出 | 滤波后的图像 y y y | 恢复的原始图像 x x x，有时包括 h h h |
| 数学模型 | y = h ∗ x y = h * x y=h∗x | y = h ∗ x + n y = h * x + n y=h∗x+n |
| 是否有噪声 | 通常不考虑噪声 | 通常考虑噪声存在 |
| 运算方向 | 正向问题（输入→输出） | 逆问题（输出→输入） |
| 难度 | 简单（直接卷积） | 复杂（病态逆问题，需正则化或先验） |
| 应用场景 | 图像增强、特征提取 | 图像去噪、去模糊、超分辨 |