【考研数学:高数9】一元函数积分学的计算

目录

前言

一、基本积分公式

二、不定积分的积分法

1.凑微分法

2.换元法

3.分部积分法

4.有理函数的积分

三、定积分的计算

四、变限积分的计算

1.概念

2.例题

五、反常积分的计算

结尾


ID:HL_5461

前言

本文为张宇老师《基础三十讲》高数第九讲的自用笔记。不做商用,侵删致歉!

例题的序号,以4.1为例,意思是第四章的第1个例题,总之从标题一(一、二、三酱紫的)往里数就是。

这一章就是不定积分、定积分、变限积分、反常积分,各种积分的计算。


一、基本积分公式

背!!!往死里背!!!


二、不定积分的积分法

不定积分的积分法算是基础,后面的计算多少都会涉及不定积分,算是必考点。

1.凑微分法

2.换元法

换元法就是把凑微分法反过来用

①三角函数代换

可以转化为三角函数代换的形式再进行三角函数代换

这种比较复杂的根式可以直接令根式为t

3.分部积分法

按照"反对幂指三"的顺序,左作,右作

形如可以用如下表格:

4.有理函数的积分

①分子有的拆出

②分子有的拆出

③分子有的拆出

④分子有的拆出

如计算,首先令然后分别计算


三、定积分的计算

利用N-L公式转化为不定积分的计算

上式只有在上有原函数时才成立

如果上分段有原函数,需要拆成两个区间算

①偶倍奇零

以T为周期,

③区间再现公式:

④华里士公式(华莱士公式(不是))


四、变限积分的计算

1.概念

变限积分计算基本都是围绕变限积分的求导

注意,中如果有,需令整体为反解出,如

①变限积分的奇偶性

是可积的且以T为周期的周期函数,则是以T为周期的周期函数

亦是以T为周期的周期函数

2.例题

例4.1:处的二次泰勒多项式为,求

思路:

看到绝对值首先考虑怎么去绝对值

因为的范围是,而,所以区间分为,分别讨论绝对值情况

(这是一个函数,不是一个定积分)

然后直接积分就好,注意计算应该当常数提出去

算泰勒公式可以将每部分的泰勒公式乘在一起

再把各部分乘起来就好了


五、反常积分的计算

算反常积分------或者说算"定积分",毕竟题目也不会特意点明求的是反常积分,就是将积分像高数8讨论敛散性一样从奇点分开,然后按照求定积分的方法分别求分开的部分。能取值的地方就取值,取不到值的地方就求极限

函数

|----------------------------------------------------------------------------|--------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| | |
| | |


结尾

看似那么多积分,其实都是不定积分的计算,所以不定积分的计算方法是重点,其余的根据需求灵活变化就好。

稍微改了改博客风格,以前有点太注重例题了,恨不得把所有写不来的题全记上去,好好的笔记快给我整成错题本了,从这一篇开始我尽量少放例题,重点还是在知识点总结上。

我要争取两天一更!(好吧,主要是因为照这个进度要写不完了)加油!

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