文章目录
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- 动态规划算法全面解析
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- 一、核心思想与基本概念
- 二、动态规划与其他算法的区别
- 三、动态规划的解题步骤
- 四、经典案例解析
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- [1. **斐波那契数列（Fibonacci）**](#1. 斐波那契数列（Fibonacci）)
- [2. **0-1背包问题（0-1 Knapsack）**](#2. 0-1背包问题（0-1 Knapsack）)
- [3. **最长公共子序列（LCS）**](#3. 最长公共子序列（LCS）)
- **五、动态规划的优化技巧**
- **六、动态规划的应用场景**
- **七、动态规划与贪心的对比**
- **八、学习建议**
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动态规划算法全面解析
动态规划（Dynamic Programming，DP）是一种通过将复杂问题分解为重叠子问题，并利用子问题的解来高效解决原问题的算法思想。它与分治法类似，但更注重对重复子问题的优化，避免重复计算，从而大幅提升算法效率。
一、核心思想与基本概念
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重叠子问题（Overlapping Subproblems）
问题可以分解为多次重复出现的子问题。例如斐波那契数列中，计算
fib(n)时需要重复计算fib(n-1)和fib(n-2)。 -
最优子结构（Optimal Substructure）
问题的最优解包含子问题的最优解。例如最短路径问题中，从A到C的最短路径必然包含A到B的最短路径（若B是路径中的节点）。
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状态转移方程
用数学公式定义子问题之间的关系，是动态规划的核心。例如斐波那契数列的状态转移方程为：
f i b ( n ) = { 0 , n = 0 1 , n = 1 f i b ( n − 1 ) + f i b ( n − 2 ) , n > 1 fib(n) = \begin{cases} 0, & n=0 \\ 1, & n=1 \\ fib(n-1) + fib(n-2), & n>1 \end{cases} fib(n)=⎩ ⎨ ⎧0,1,fib(n−1)+fib(n−2),n=0n=1n>1
二、动态规划与其他算法的区别
| 算法类型 | 核心策略 | 重复子问题处理 | 典型案例 |
|---|---|---|---|
| 动态规划 | 利用子问题解存储与复用 | 存储结果避免重复计算 | 背包问题、最长公共子序列 |
| 分治法 | 将问题分解为独立子问题 | 不存储子问题解 | 归并排序、快速幂 |
| 贪心算法 | 每一步选择局部最优解 | 不考虑子问题重叠 | 霍夫曼编码、活动选择问题 |
三、动态规划的解题步骤
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定义状态
明确
dp[i]表示什么，通常与问题的规模或阶段相关。例如：dp[i]：长度为i的序列的最优解dp[i][j]：二维问题中第i行第j列的状态
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推导状态转移方程
找出
dp[i]与dp[i-1]、dp[i-2]等子状态的关系，例如：- 背包问题：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) - 最长递增子序列（LIS）：
dp[i] = max(dp[j] + 1) ，其中j < i且nums[j] < nums[i]
- 背包问题：
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确定初始条件
处理最小规模的子问题，例如：
dp[0] = 0（空序列的解）dp[i][0] = 0（背包容量为0时无法装物品）
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确定计算顺序
确保计算
dp[i]时，其依赖的子状态已被计算，通常采用自底向上（迭代）的方式。 -
获取最终结果
根据问题要求，从状态数组中提取答案（可能是
dp[n]或max(dp[1..n])等）。
四、经典案例解析
1. 斐波那契数列（Fibonacci）
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问题 ：计算第
n个斐波那契数。 -
暴力递归 ：时间复杂度
O(2^n)，存在大量重复计算。 -
动态规划解法 ：
pythondef fib_dp(n): if n <= 1: return n dp = [0] * (n + 1) dp[0], dp[1] = 0, 1 for i in range(2, n + 1): dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2] return dp[n] -
优化 ：只需存储前两个状态，空间复杂度从
O(n)降为O(1)：pythondef fib_optimized(n): if n <= 1: return n a, b = 0, 1 for _ in range(2, n + 1): a, b = b, a + b return b
2. 0-1背包问题（0-1 Knapsack）
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问题 ：有
n个物品，每个物品重量w[i]、价值v[i]，背包容量W，求能装的最大价值。 -
状态定义 ：
dp[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包的最大价值。 -
状态转移 ：
- 不选第
i个物品：dp[i][j] = dp[i-1][j] - 选第
i个物品（若j >= w[i]）：dp[i][j] = dp[i-1][j-w[i]] + v[i] - 最终：
dp[i][j] = max(不选, 选)
- 不选第
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代码实现 ：
pythondef knapsack(w, v, W): n = len(w) dp = [[0] * (W + 1) for _ in range(n + 1)] for i in range(1, n + 1): for j in range(W + 1): if w[i-1] <= j: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]] + v[i-1]) else: dp[i][j] = dp[i-1][j] return dp[n][W] -
空间优化 ：使用一维数组，逆序更新（避免重复使用当前物品）：
pythondef knapsack_optimized(w, v, W): n = len(w) dp = [0] * (W + 1) for i in range(n): for j in range(W, w[i] - 1, -1): dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]) return dp[W]
3. 最长公共子序列（LCS）
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问题 ：求两个字符串
A和B的最长公共子序列长度。 -
状态定义 ：
dp[i][j]表示A[0..i-1]和B[0..j-1]的LCS长度。 -
状态转移 ：
- 若
A[i-1] == B[j-1]：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 - 否则：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])
- 若
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代码示例 ：
pythondef lcs_length(text1, text2): m, n = len(text1), len(text2) dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)] for i in range(1, m + 1): for j in range(1, n + 1): if text1[i-1] == text2[j-1]: dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1 else: dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) return dp[m][n]
五、动态规划的优化技巧
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空间压缩
- 一维DP：将二维状态数组压缩为一维（如0-1背包的优化）。
- 滚动数组：仅保留与当前状态相关的前几个子状态（如斐波那契数列）。
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状态转移优化
- 利用数据结构（如平衡树、单调队列）加速状态转移。
- 矩阵快速幂：将线性递推关系转化为矩阵乘法，适用于大规模数据。
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记忆化搜索（自顶向下）
- 用递归+缓存的方式避免重复计算，适合子问题依赖关系复杂的场景。
pythondef fib_memo(n, memo={}): if n in memo: return memo[n] if n <= 1: memo[n] = n else: memo[n] = fib_memo(n-1, memo) + fib_memo(n-2, memo) return memo[n]
六、动态规划的应用场景
- 组合优化问题：背包问题、旅行商问题（TSP）、最短路径。
- 字符串处理：编辑距离、最长回文子串、正则表达式匹配。
- 数学问题：硬币找零、整数拆分、矩阵链乘法。
- 概率与统计：股票买卖最佳时机、骰子点数组合。
- 图论问题：状态压缩DP（如哈密顿路径）。
七、动态规划与贪心的对比
- 动态规划：考虑所有可能的子问题，确保全局最优，但时间复杂度较高。
- 贪心算法：每一步选局部最优，可能无法得到全局最优，但效率更高。
- 案例对比 ：
- 活动选择问题：贪心可直接选结束时间最早的活动，无需DP。
- 背包问题：贪心（按单位重量价值选）无法得到最优解，必须用DP。
八、学习建议
- 从基础案例入手：先掌握斐波那契、背包、LCS等经典问题。
- 多练习状态定义：动态规划的核心难点在于状态转移方程的推导。
- 注意边界条件：初始状态的设定直接影响结果正确性。
- 分析时间与空间复杂度：优化算法时需平衡两者。
- 参考解题模板：许多DP问题有固定的状态设计模式（如区间DP、树形DP）。
动态规划是算法设计中最具挑战性的思想之一，但通过大量练习和总结，能够有效提升解决复杂问题的能力。