三维旋转沿轴分解

将旋转分解为固定参考坐标系的绕轴n\bold{n}n的旋转和正交轴旋转:
R=R⊥R∥ \bold{R}= \bold{R}{\perp} \bold{R}{\parallel} R=R⊥R∥
R∥=cos⁡θI+(1−cos⁡θ)nnT+sin⁡θn∧ \bold{R}_{\parallel}=\cos \theta \bold{I}+\left( 1-\cos \theta \right) \bold{n}\bold{n}^{T}+\sin \theta \bold{n}^{\wedge } R∥=cosθI+(1−cosθ)nnT+sinθn∧

使用最小二乘法估计绕轴旋转,目标函数是使正交轴旋转的角度最小
min⁡θarccos⁡(tr(RR∥−1)−12) \min_{\theta}\arccos\left(\dfrac{\rm{tr}\left(\bold{RR}_{\parallel}^{-1}\right)-1}{2}\right) θminarccos 2tr(RR∥−1)−1

上面的式子使用了旋转矩阵转欧拉角 的公式

由于arccos⁡\arccosarccos函数单调递减,原问题变为

max⁡θtr(RR∥−1)=max⁡θtr(R(cos⁡θI+(1−cos⁡θ)nnT−sin⁡θn∧))=max⁡θ(cos⁡θtr(R−RnnT)−sin⁡θtr(Rn∧)) \begin{aligned} \max_{\theta} \rm{tr}\left(\bold{RR}{\parallel}^{-1}\right) &=\max{\theta}\rm{tr}\left(\bold{R}\left(\cos \theta \bold{I}+\left( 1-\cos \theta \right) \bold{n}\bold{n}^{T}-\sin \theta \bold{n}^{\wedge } \right)\right)\\ &=\max_{\theta}\left(\cos \theta \rm{tr}\left(\bold{R} - \bold{R}\bold{n}\bold{n}^{T}\right)-\sin\theta\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)\right) \end{aligned} θmaxtr(RR∥−1)=θmaxtr(R(cosθI+(1−cosθ)nnT−sinθn∧))=θmax(cosθtr(R−RnnT)−sinθtr(Rn∧))

对θ\thetaθ求导得
−sin⁡θtr(R−RnnT)−cos⁡θtr(Rn∧)=0tan⁡θ=tr(Rn∧)tr(nTRn)−tr(R)θ=arctan⁡(tr(Rn∧)tr(nTRn)−tr(R)) \begin{aligned} -\sin\theta\rm{tr}\left(\bold{R} - \bold{R}\bold{n}\bold{n}^{T}\right)-\cos\theta\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)&=0\\ \tan\theta&=\dfrac{\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)}{\rm{tr}\left(\bold{n}^{T}\bold{R}\bold{n}\right)-\rm{tr}\left(\bold{R}\right) }\\ \theta&=\arctan\left(\dfrac{\rm{tr}\left(\bold{R}\bold{n}^{\wedge }\right)}{\rm{tr}\left(\bold{n}^{T}\bold{R}\bold{n}\right)-\rm{tr}\left(\bold{R}\right) }\right) \end{aligned} −sinθtr(R−RnnT)−cosθtr(Rn∧)tanθθ=0=tr(nTRn)−tr(R)tr(Rn∧)=arctan(tr(nTRn)−tr(R)tr(Rn∧))

相关推荐
进击的炸酱面12 小时前
第三章 线性模型
人工智能·算法·机器学习
立志成为大牛的小牛12 小时前
数据结构——三十一、最小生成树(王道408)
数据结构·学习·程序人生·考研·算法
CoovallyAIHub13 小时前
一致性模型:单步生成高质量图像,破解扩散模型速度瓶颈
深度学习·算法·计算机视觉
音视频牛哥13 小时前
AI智能体从系统智能到生态智能:SmartMediaKit 如何成为智能体时代的视频神经系统
人工智能·计算机视觉·音视频·大牛直播sdk·多智能体协同·rtsp播放器rtmp播放器·视频感知低延迟音视频
JMzz13 小时前
Rust 中的数据结构选择与性能影响:从算法复杂度到硬件特性 [特殊字符]
开发语言·数据结构·后端·算法·性能优化·rust
CoovallyAIHub13 小时前
搞定边缘AI部署:开源神器RamaLama,让视觉语言模型无处不在
深度学习·算法·计算机视觉
CyberSoma13 小时前
机器人模仿学习运动基元数学编码方法还有用吗?
人工智能·算法·计算机视觉·机器人
CoovallyAIHub13 小时前
英伟达再出「神作」!黄仁勋华盛顿GTC宣布Vera Rubin超级芯片,联手诺基亚进军6G,市值直逼5万亿美元
深度学习·算法·计算机视觉
黑菜钟14 小时前
代码随想录第50天 | 图论 基础介绍(新篇章
算法·深度优先·图论
MarkHD14 小时前
Dify从入门到精通 第33天 基于GPT-4V构建图片描述生成器与视觉问答机器人
人工智能·机器人