算法竞赛备赛——【图论】求最短路径——Floyd算法

floyd算法

基于动态规划

应用：求多源最短路时间复杂度：n^3

dijkstra：不能解决负边权

floyd：能解决负边权不能解决负边权回路问题

求最短路径：dijkstra bfs floyd

思路

1.让任意两点之间的距离变短：引入中转点k

通过k来中转 i---->k---->j < i----->j

2.找状态：

n个点都可以做中转点的情况下，i到j之间的最短路径的长度是x

最终状态：dp $n$ $i$ $j$ =x;

中间状态：dp $k$ $i$ $j$ =x;经过前k个点（1~k）做中转点的情况下，i到j之间的最短路径的长度是x

初始状态：dp $0$ $i$ $j$ =a $i$ $j$ ;

3.找状态转移方程

经过前k个点（1~k）做中转点的情况下，i到j之间的最短路径的长度是？

中间状态：dp $k$ $i$ $j$ =？

前k-1个状态已知，前k-1个点（1~k-1)做中转点的情况下，i到j之间的最短路径的长度

if(dp $k$ $i$ $j$ >dp $k-1$ $i$ $k$ +dp $k-1$ $k$ $j$ )

dp $k$ $i$ $j$ =dp $k-1$ $i$ $k$ +dp $k-1$ $k$ $j$

else

dp $k$ $i$ $j$ =dp $k-1$ $i$ $j$ ;

代码实现

C++ 复制代码

#include<iostream> 
using namespace std;
#define inf 0x7fffffff
int n, m;
int a[105][105];//邻接矩阵存图
int dp[105][105][105];

int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			a[i][j] = inf;
			if (i == j) {
				a[i][j] = 0;
			}
		}
	}
	int x, y, w;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> x >> y >> w;
		a[x][y] = w;
	}

	//初始化dp
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			dp[0][i][j] = a[i][j];
		}
	}
	for (int k = 1; k <= n; k++) {//枚举中转点
		for (int i = 1; i <= n; i++) {//枚举起点、终点
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				dp[k][i][j] = min(dp[k - 1][i][j], dp[k - 1][i][k] + dp[k - 1][k][j]);
			}
		}
	}
	//输出
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cout << dp[n][i][j] << " ";
		}
	}
	return 0;
}

降维

C++ 复制代码

#include<iostream> 
using namespace std;
//降维 三维降为二维
#define inf 0x7fffffff
int n, m;
int a[105][105];//邻接矩阵存图
int dp[105][105]; 

int main() {
	cin >> n >> m;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			a[i][j] = inf;
			if (i == j) {
				a[i][j] = 0;
			}
		}
	}
	int x, y, w;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		cin >> x >> y >> w;
		a[x][y] = w;
	}

	//初始化dp
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			dp[i][j] = a[i][j];
		}
	}
	//三重循环的顺序不能变换
	for (int k = 1; k <= n; k++) {//最外层一定是 枚举中转点
		for (int i = 1; i <= n; i++) {//枚举起点、终点
			for (int j = 1; j <= n; j++) {
				dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j]);
			}
		}
	}
	//输出
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= n; j++) {
			cout << dp[i][j] << " ";
		}
	}
	return 0;
}