粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）求解二维 Rastrigin 函数最小值问题

前言

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文章目录

前言
matlab代码
代码分析
- [🧠 一、问题建模](#🧠 一、问题建模)
- [🚀 二、粒子群优化算法核心数学公式](#🚀 二、粒子群优化算法核心数学公式)
- - 粒子状态：
  - 更新规则：
- [⚙️ 三、代码分析](#⚙️ 三、代码分析)
- - [1. **参数设置**](#1. 参数设置)
  - [2. **粒子初始化**](#2. 粒子初始化)
  - [3. **适应度计算**](#3. 适应度计算)
  - [4. **迭代优化主循环**](#4. 迭代优化主循环)
  - - [- 更新速度（核心公式）：](#- 更新速度（核心公式）：)
    - [- 限制速度：](#- 限制速度：)
    - [- 更新位置：](#- 更新位置：)
    - [- 更新个体最优和全局最优：](#- 更新个体最优和全局最优：)
- [📉 四、收敛性与可视化](#📉 四、收敛性与可视化)
- [✅ 五、总结与评价](#✅ 五、总结与评价)

这段 MATLAB 代码实现的是 粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO） 用于求解二维 Rastrigin 函数最小值问题。

我将从 整体框架、数学建模、公式推导和关键步骤 的角度详细分析此算法的原理和实现。

matlab代码

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clc; clear; close all;

% ------------------ PSO 参数设置 ------------------
num_particles = 30;        % 粒子数量
max_iter = 100;            % 最大迭代次数
dim = 2;                   % 问题维度
x_min = -5.12;             % 搜索空间下限
x_max = 5.12;              % 搜索空间上限
v_max = (x_max - x_min) / 2;

w = 0.7;                   % 惯性权重
c1 = 1.5;                  % 个体学习因子
c2 = 1.5;                  % 社会学习因子

% ------------------ 初始化 ------------------
% 初始化位置和速度
x = x_min + rand(num_particles, dim) * (x_max - x_min);
v = zeros(num_particles, dim);

% 初始化个体最优
pbest = x;
pbest_val = arrayfun(@(i) rastrigin(x(i,:)), 1:num_particles)';

% 初始化全局最优
[gbest_val, idx] = min(pbest_val);
gbest = pbest(idx, :);

% ------------------ 迭代优化 ------------------
global_best_history = zeros(max_iter, 1);

for iter = 1:max_iter
    for i = 1:num_particles
        % 更新速度
        v(i,:) = w * v(i,:) ...
               + c1 * rand() * (pbest(i,:) - x(i,:)) ...
               + c2 * rand() * (gbest - x(i,:));
        % 限制速度
        v(i,:) = max(min(v(i,:), v_max), -v_max);
        
        % 更新位置
        x(i,:) = x(i,:) + v(i,:);
        x(i,:) = max(min(x(i,:), x_max), x_min);  % 限制位置在边界内

        % 计算适应度
        f_val = rastrigin(x(i,:));

        % 更新个体最优
        if f_val < pbest_val(i)
            pbest(i,:) = x(i,:);
            pbest_val(i) = f_val;
        end

        % 更新全局最优
        if f_val < gbest_val
            gbest = x(i,:);
            gbest_val = f_val;
        end
    end
    
    global_best_history(iter) = gbest_val;
    fprintf('迭代 %d：全局最优值 = %.6f\n', iter, gbest_val);
end

% ------------------ 结果展示 ------------------
figure;
plot(global_best_history, 'LineWidth', 2);
xlabel('迭代次数'); ylabel('最优值');
title('PSO 优化 Rastrigin 函数过程');
grid on;

fprintf('\n最终最优位置: (%.6f, %.6f)\n', gbest(1), gbest(2));
fprintf('函数值: %.6f\n', gbest_val);

% ------------------ Rastrigin 函数 ------------------
function y = rastrigin(x)
    y = 20 + x(1)^2 + x(2)^2 - 10 * (cos(2 * pi * x(1)) + cos(2 * pi * x(2)));
end

运行结果

代码分析

🧠 一、问题建模

目标是优化 Rastrigin 函数，定义如下：

相关引用：Rastrigin函数简介

f ( x ) = 10 d + ∑ i = 1 d [ x i 2 − 10 cos ⁡ ( 2 π x i ) ] f(\mathbf{x}) = 10d + \sum_{i=1}^{d} \left[ x_i^2 - 10\cos(2\pi x_i) \right] f(x)=10d+i=1∑d[xi2−10cos(2πxi)]

对于本代码中 d = 2 d = 2 d=2，因此目标函数为：

f ( x , y ) = 20 + x 2 + y 2 − 10 cos ⁡ ( 2 π x ) − 10 cos ⁡ ( 2 π y ) f(x, y) = 20 + x^2 + y^2 - 10\cos(2\pi x) - 10\cos(2\pi y) f(x,y)=20+x2+y2−10cos(2πx)−10cos(2πy)

这是一个多峰函数 ，具有大量局部极小值，全局最小值在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)，其函数值为 0。

🚀 二、粒子群优化算法核心数学公式

粒子状态：

位置： x i t ∈ R d \mathbf{x}_i^t \in \mathbb{R}^d xit∈Rd
速度： v i t ∈ R d \mathbf{v}_i^t \in \mathbb{R}^d vit∈Rd

更新规则：

粒子速度与位置更新公式如下：

v i t + 1 = w ⋅ v i t + c 1 ⋅ r 1 ⋅ ( p i − x i t ) + c 2 ⋅ r 2 ⋅ ( g − x i t ) \mathbf{v}_i^{t+1} = w \cdot \mathbf{v}_i^t + c_1 \cdot r_1 \cdot (\mathbf{p}_i - \mathbf{x}_i^t) + c_2 \cdot r_2 \cdot (\mathbf{g} - \mathbf{x}_i^t) vit+1=w⋅vit+c1⋅r1⋅(pi−xit)+c2⋅r2⋅(g−xit)

x i t + 1 = x i t + v i t + 1 \mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_i^t + \mathbf{v}_i^{t+1} xit+1=xit+vit+1

其中：

w w w：惯性权重，控制速度"保留性"
c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2：个体学习因子、社会学习因子
r 1 , r 2 ∼ U ( 0 , 1 ) r_1, r_2 \sim \mathcal{U}(0, 1) r1,r2∼U(0,1)：两个独立随机数
p i \mathbf{p}_i pi：粒子 i i i 的个体最优位置
g \mathbf{g} g：所有粒子中的全局最优位置

⚙️ 三、代码分析

1. 参数设置

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num_particles = 30;        % 粒子数量
max_iter = 100;            % 最大迭代次数
dim = 2;                   % 问题维度
x_min = -5.12;             % 搜索空间下限
x_max = 5.12;              % 搜索空间上限
v_max = (x_max - x_min) / 2;

w = 0.7;                   % 惯性权重
c1 = 1.5;                  % 个体学习因子
c2 = 1.5;                  % 社会学习因子

设置粒子数量、最大迭代次数、搜索空间边界、速度最大值、惯性权重等。

2. 粒子初始化

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x = x_min + rand(num_particles, dim) * (x_max - x_min); % 位置
v = zeros(num_particles, dim);                          % 速度

数学表示：

x i 0 = U ( [ x min ⁡ , x max ⁡ ] d ) , v i 0 = 0 \mathbf{x}i^0 = \mathcal{U}([x{\min}, x_{\max}]^d), \quad \mathbf{v}_i^0 = \mathbf{0} xi0=U([xmin,xmax]d),vi0=0

每个粒子的初始位置在边界范围内随机选取。

3. 适应度计算

相关引用："适应度"简介

matlab 复制代码

pbest_val = arrayfun(@(i) rastrigin(x(i,:)), 1:num_particles)';

pbest_val = arrayfun(@(i) rastrigin(x(i,:)), 1:num_particles)'

1:num_particles 生成一个从1到num_particles的整数序列，表示粒子群的索引。例如，如果num_particles=30，则生成[1, 2, ..., 30]。

@(i) rastrigin(x(i,:)) 这是一个匿名函数（lambda函数），输入参数为i（粒子索引），输出为rastrigin(x(i,:))，即第i个粒子的位置向量x(i,:)在Rastrigin函数上的适应度值。

arrayfun arrayfun函数会对1:num_particles中的每个元素i执行匿名函数@(i) rastrigin(x(i,:))，并返回一个结果数组。例如：

如果x是一个30×2的矩阵（30个粒子，每个粒子2维），则arrayfun会依次计算rastrigin(x(1,:)),
rastrigin(x(2,:)), ..., rastrigin(x(30,:))，并返回一个1×30的行向量。

'（转置符号） 由于arrayfun默认返回行向量，而pbest_val通常需要存储为列向量（便于后续操作），因此使用转置符号'将其转换为列向量。

即计算每个粒子的初始位置的函数值，并记录为个体最优。

数学表示：

f i 0 = f ( x i 0 ) , p i = x i 0 f_i^0 = f(\mathbf{x}_i^0), \quad \mathbf{p}_i = \mathbf{x}_i^0 fi0=f(xi0),pi=xi0

全局最优位置 g \mathbf{g} g 是当前所有个体中函数值最小的位置。

4. 迭代优化主循环

matlab 复制代码

for iter = 1:max_iter

- 更新速度（核心公式）：

matlab 复制代码

v(i,:) = w * v(i,:) ...
       + c1 * rand() * (pbest(i,:) - x(i,:)) ...
       + c2 * rand() * (gbest - x(i,:));

数学形式（逐分量）：

v i , j t + 1 = w ⋅ v i , j t + c 1 ⋅ r 1 ⋅ ( p i , j − x i , j t ) + c 2 ⋅ r 2 ⋅ ( g j − x i , j t ) v_{i,j}^{t+1} = w \cdot v_{i,j}^t + c_1 \cdot r_1 \cdot (p_{i,j} - x_{i,j}^t) + c_2 \cdot r_2 \cdot (g_j - x_{i,j}^t) vi,jt+1=w⋅vi,jt+c1⋅r1⋅(pi,j−xi,jt)+c2⋅r2⋅(gj−xi,jt)

这是 PSO 的经典速度更新方程。

- 限制速度：

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v(i,:) = max(min(v(i,:), v_max), -v_max);

防止粒子运动过快，跳出搜索空间。

- 更新位置：

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x(i,:) = x(i,:) + v(i,:);
x(i,:) = max(min(x(i,:), x_max), x_min);

即：

x i t + 1 = x i t + v i t + 1 \mathbf{x}_i^{t+1} = \mathbf{x}_i^t + \mathbf{v}_i^{t+1} xit+1=xit+vit+1

并保持在合法边界内。

- 更新个体最优和全局最优：

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if f_val < pbest_val(i)
    pbest(i,:) = x(i,:);
    pbest_val(i) = f_val;
end
if f_val < gbest_val
    gbest = x(i,:);
    gbest_val = f_val;
end

反映出个体记忆和群体协作的机制。

📉 四、收敛性与可视化

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global_best_history(iter) = gbest_val;
plot(global_best_history, ...);

记录并绘制每一代的全局最优值。

目标是找到函数的全局极小值点 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) (x, y) = (0, 0) (x,y)=(0,0)，函数值为 0。

✅ 五、总结与评价

组件	数学作用	代码实现
惯性项 w ⋅ v w \cdot v w⋅v	保持粒子动量	`w * v(i,:)`
认知项 c 1 ⋅ r 1 ⋅ ( p i − x ) c_1 \cdot r_1 \cdot (p_i - x) c1⋅r1⋅(pi−x)	自我学习	`c1 * rand() * (pbest - x)`
社会项 c 2 ⋅ r 2 ⋅ ( g − x ) c_2 \cdot r_2 \cdot (g - x) c2⋅r2⋅(g−x)	群体协作	`c2 * rand() * (gbest - x)`
边界约束	保证合法搜索	`max(min(...))`
适应度评估	目标函数值	`rastrigin(x)`

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO） 求解二维 Rastrigin 函数最小值问题

前言

文章目录

matlab代码

代码分析

🧠 一、问题建模

🚀 二、粒子群优化算法核心数学公式

粒子状态：

更新规则：

⚙️ 三、代码分析

1. 参数设置

2. 粒子初始化

3. 适应度计算

4. 迭代优化主循环

- 更新速度（核心公式）：

- 限制速度：

- 更新位置：

- 更新个体最优和全局最优：

📉 四、收敛性与可视化

✅ 五、总结与评价

粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）求解二维 Rastrigin 函数最小值问题