动态规划Day7学习心得

今天给动态规划扫个尾，还有两题。

第一道：647. 回文子串 - 力扣（LeetCode）

暴力解法

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)。

动态规划

动规五部曲：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

本题如果定义，dp $i$ 为下标i结尾的字符串有 dp $i$ 个回文串的话，会发现很难找到递归关系。

dp $i$ 和 dp $i-1$ ，dp $i + 1$ 看上去都没啥关系。

在判断字符串S是否是回文，那么如果知道 s $1$ ，s $2$ ，s $3$ 这个子串是回文的，那么只需要比较 s $0$ 和s $4$ 这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围 $i,j$ ）是否回文，依赖于，子字符串（下标范围 $i + 1, j - 1$ ））是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，dp数组要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp $i$ $j$ ：表示区间范围 $i,j$ （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是dp $i$ $j$ 为true，否则为false。

确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s $i$ 与s $j$ 相等，s $i$ 与s $j$ 不相等这两种。

当s $i$ 与s $j$ 不相等，那没啥好说的了，dp $i$ $j$ 一定是false。

当s $i$ 与s $j$ 相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s $i$ 与s $j$ 已经相同了，看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp $i + 1$ $j - 1$ 是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

cpp 复制代码

if (s[i] == s[j]) {
    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
        result++;
        dp[i][j] = true;
    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
        result++;
        dp[i][j] = true;
    }
}

result就是统计回文子串的数量。

注意这里没有列出当s $i$ 与s $j$ 不相等的时候，因为在下面dp $i$ $j$ 初始化的时候，就初始为false。

dp数组如何初始化

dp $i$ $j$ 可以初始化为true么？当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp $i$ $j$ 初始化为false。

确定遍历顺序

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp $i + 1$ $j - 1$ 是否为true，在对dp $i$ $j$ 进行赋值true的。

dp $i + 1$ $j - 1$ 在 dp $i$ $j$ 的左下角。

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp $i + 1$ $j - 1$ ，也就是根据不确定是不是回文的区间 $i+1,j-1$ ，来判断了 $i,j$ 是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp $i + 1$ $j - 1$ 都是经过计算的。

C++代码如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int countSubstrings(string s) {
        vector<vector<bool>> dp(s.size(), vector<bool>(s.size(), false));
        int result = 0;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {  // 注意遍历顺序
            for (int j = i; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    } else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三
                        result++;
                        dp[i][j] = true;
                    }
                }
            }
        }
        return result;
    }
};

然后看第二道：516. 最长回文子序列 - 力扣（LeetCode）

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！

动规五部曲分析如下：

确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp $i$ $j$ ：字符串s在 $i, j$ 范围内最长的回文子序列的长度为dp $i$ $j$ 。

确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s $i$ 与s $j$ 是否相同。

如果s $i$ 与s $j$ 相同，那么dp $i$ $j$ = dp $i + 1$ $j - 1$ + 2;

如果s $i$ 与s $j$ 不相同，说明s $i$ 和s $j$ 的同时加入并不能增加 $i,j$ 区间回文子序列的长度，那么分别加入s $i$ 、s $j$ 看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s $j$ 的回文子序列长度为dp $i + 1$ $j$ 。

加入s $i$ 的回文子序列长度为dp $i$ $j - 1$ 。

那么dp $i$ $j$ 一定是取最大的，即：dp $i$ $j$ = max(dp $i + 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ );

代码如下：

cpp 复制代码

if (s[i] == s[j]) {
    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
} else {
    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
}

dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp $i$ $j$ = dp $i + 1$ $j - 1$ + 2; 可以看出递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp $i$ $j$ 一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp $i$ $j$ 初始为0就行，这样递推公式：dp $i$ $j$ = max(dp $i + 1$ $j$ , dp $i$ $j - 1$ ); 中dp $i$ $j$ 才不会被初始值覆盖。

cpp 复制代码

vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;

确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp $i$ $j$ 依赖于 dp $i + 1$ $j - 1$ ，dp $i + 1$ $j$ 和 dp $i$ $j - 1$ ，

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。

C++代码如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int longestPalindromeSubseq(string s) {
        vector<vector<int>> dp(s.size(), vector<int>(s.size(), 0));
        for (int i = 0; i < s.size(); i++) dp[i][i] = 1;
        for (int i = s.size() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.size(); j++) {
                if (s[i] == s[j]) {
                    dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
                } else {
                    dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return dp[0][s.size() - 1];
    }
};