一.背景（了解）
傅里叶级数和变换简史（了解）
1.起源：傅里叶与热传导问题（1807-1822）
傅里叶级数的诞生与 19 世纪初的热传导研究直接相关。
让 - 巴普蒂斯・约瑟夫・傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier，1768-1830）是法国数学家、物理学家。1798 年，他随拿破仑远征埃及，期间开始关注热现象；1804 年返回法国后，专注于热传导方程的求解。
当时，物理学家已知道热在均匀介质中传播遵循偏微分方程，但如何求解该方程（是难题。傅里叶提出了一个突破性思路：将方程的解表示为三角函数（正弦、余弦）的无穷级数，即后来的 "傅里叶级数"。
1807 年，傅里叶向法国科学院提交了关于热传导的论文，首次系统提出这一想法。但当时的数学界对此强烈质疑：传统观点认为，只有光滑函数才能用级数表示，而傅里叶级数竟能表示有间断点的函数（如方波），这在当时被视为 "不合理"。论文因此被驳回。
直到 1822 年，傅里叶出版《热的解析理论》（Théorie analytique de la chaleur），书中详细阐述了傅里叶级数的原理及应用，并用它成功解决了多种热传导问题。这部著作最终说服了学界，傅里叶级数的地位得以确立。
2.早期争议与基础完善（19 世纪初 - 中期）
傅里叶的工作引发了数学界对 "函数" 概念的重新思考，并推动了傅里叶级数的严格化。
-
核心争议：傅里叶声称 "任何周期函数都可展开为傅里叶级数"，但这一结论缺乏严格证明。例如，拉格朗日指出，不连续函数的级数展开可能导致矛盾。
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其他贡献者：
- 黎曼（Bernhard Riemann）在 1854 年研究了傅里叶级数的收敛性与积分的关系，提出 "黎曼积分" 的雏形；
- 魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）用傅里叶级数构造了 "处处连续但处处不可导" 的函数，颠覆了传统对 "光滑性" 的认知；
- 康托尔（Georg Cantor）为解决傅里叶级数的唯一性问题，开创了集合论。
3.从级数到变换：傅里叶变换的形成（19 世纪中后期 - 20 世纪初）
傅里叶级数仅适用于周期函数，但现实中更多问题涉及非周期函数（如瞬态信号）。将傅里叶级数推广到非周期函数，便诞生了傅里叶变换。
-
核心思想：非周期函数可视为 "周期无穷大的周期函数"。当周期时，傅里叶级数的离散频谱会趋向连续频谱，级数的求和形式转化为积分形式 ------ 这就是傅里叶变换。
-
数学严格化：
- 1878 年，法国数学家拉盖尔（Edmond Laguerre）首次用积分形式表示非周期函数的 "傅里叶展开"；
- 1907 年，匈牙利数学家费耶尔（Lipót Fejér）证明了傅里叶变换的 "平均收敛" 性质，弥补了狄利克雷条件的局限性；
- 20 世纪初，勒贝格（Henri Lebesgue）提出 "勒贝格积分"，为傅里叶变换在更广泛函数（如平方可积函数）上的应用提供了工具。
4.现代发展与应用（20 世纪中期至今）
20 世纪后，傅里叶变换的计算效率 与跨领域应用成为重点。
-
快速傅里叶变换（FFT）的诞生（1965）： 传统傅里叶变换难以处理大规模数据。1965 年，美国数学家库利（James Cooley）和图基（John Tukey）发表《用于计算机计算复数傅里叶级数的算法》，提出 FFT 算法。这一突破让傅里叶变换从理论走向工程实践（如雷达、通信、图像处理）。
-
扩展与泛化：
- 短时傅里叶变换（STFT）：解决非平稳信号的时频分析问题；
- 小波变换：弥补傅里叶变换 "时频分辨率固定" 的缺陷，适用于突变信号；
- 离散傅里叶变换（DFT）：为数字信号处理（如音频、视频编码）提供基础。
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跨领域影响： 傅里叶变换已成为物理（量子力学、热力学）、工程（信号处理、控制系统）、医学（CT 成像、核磁共振）、金融（时间序列分析）等领域的核心工具。
二.基本概念（了解）
1.复数
复数是数学中一个重要的概念，它扩展了实数系统，使其能够处理更广泛的数学问题。复数由实部和虚部组成，
通常表示为，其中：
是实部（real part），
2.傅里叶级数
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数之和的数学工具。它由法国数学家约瑟夫·傅里叶提出，广泛应用于信号处理、热传导方程和振动分析等领域。
傅里叶级数适用于周期函数。假设一个周期为 的函数
（即
），它可以表示为无限级数：
其中：
- 求和项
- 傅里叶级数的形式
三.取样和取样函数的傅里叶变换（了解）
1. 取样的基本概念
取样是将连续信号在特定时间点获取离散样本的过程。设采样间隔为
（单位为秒），则采样频率
（单位为Hz）。取样后的离散信号表示为
，其中
是整数索引。
取样过程可视为连续信号与取样函数
的乘积：
这里，
是采样后的信号（通常为脉冲序列），
是取样函数。
2. 取样函数的定义
取样函数定义了如何"抽取"信号样本。在理想采样中，使用Dirac delta函数（δ函数）构成的脉冲串（Dirac comb函数）： 其中，
是单位冲激函数，满足：
这个函数在处有脉冲，其他地方为零，表示只在采样点获取值。
3. 傅里叶变换回顾
傅里叶变换将时域信号转换为频域表示
，揭示其频率成分。
定义如下： 其中，
是虚数单位（
），
是频率（Hz）。
逆变换为：
傅里叶变换具有线性、时移和频移等性质，适用于分析采样信号。
4. 取样函数的傅里叶变换
取样函数的傅里叶变换
是关键。计算
的变换：
由于δ函数的筛选性质，上式简化为：
这是一个周期为的傅里叶级数，其闭式解为：
其中。这表明
是频域中的脉冲串，间隔为
。
5. 采样信号的傅里叶变换
采样信号的傅里叶变换
可通过卷积定理求得。
时域乘积对应频域卷积： 其中
表示卷积。
代入：
卷积与δ函数的作用简化了求和：
这个结果表示：采样信号的频谱是原始信号频谱
的周期性复制，复制间隔为
。每个副本是
以
为中心平移并缩放
。
6. 采样定理（Nyquist-Shannon定理）
采样信号的频谱复制可能导致混叠（aliasing），即高频成分折叠到低频区域。为了避免失真，采样频率必须满足Nyquist准则：
其中
是原始信号
的最高频率成分（即带宽）。如果满足此条件，则
的副本不重叠，原始信号可以从采样中完美重建。
- 混叠示例 ：如果
- 重建过程 ：通过低通滤波器（如sinc函数）可以从
四.单变量的离散傅里叶变换（DFT）
1. 基本定义
对于一个长度为 的离散序列
（其中
），
其 DFT 定义为：
其中：
- 序列
逆 DFT（IDFT）用于从频域恢复到时域：
2.简单示例
考虑一个长度为 4 的序列：。
计算其 DFT：
- 当
- 当
- 当
- 当
五.俩个变量的函数的扩展
六.二维离散傅里叶变换的一些性质
1. 线性性质
DFT 是线性变换。这意味着，如果两个信号和
的 DFT 分别为
和
，那么对于任意常数
和
，有：
其中
表示 DFT 操作。此性质允许我们轻松处理信号的线性组合，例如在图像叠加或加权平均中。
2. 平移性质
- 空间域平移 ：如果信号在空间域平移
- 频率域平移 ：如果 DFT
3. 旋转性质
如果信号在空间域旋转一个角度 （以原点为中心），则其 DFT 也旋转相同角度
。
即，如果 ，
那么：
这反映了 DFT 的旋转不变性，常用于图像旋转不变特征提取。
4. 缩放性质
如果信号在空间域缩放，即 （其中
和
是非零实数），则其 DFT 为：
注意：在离散情况下，缩放需谨慎处理以避免混叠效应。此性质表明，空间域放大（
）会导致频率域收缩。
5. 卷积定理
空间域的卷积对应于频率域的乘积。如果和
是二维信号，
其卷积定义为 ，
则： 类似地，空间域的相关运算（如互相关）也对应频率域的乘积。此性质极大简化了卷积计算，常用于高效滤波（如使用 FFT 加速）。
6. 对称性
对于实值信号 ，DFT 具有共轭对称性：
其中
表示复共轭。这导致幅度谱
是偶函数，即
，而相位谱是奇函数。此性质可减少存储需求（只需一半频率分量）。
7. Parseval 定理（能量守恒）
DFT 满足能量守恒，即空间域的总能量等于频率域的总能量：
这确保了变换前后信号的能量不变，在压缩和重建中很重要。
8. 周期性
DFT 是周期性的，周期为 和
七.频率域滤波基础
1.数学基础
-
傅里叶变换
将信号
离散形式（DFT）：
-
卷积定理
空间域卷积等价于频率域乘积：
这是频率域滤波的理论基础。
2.基本流程
- 正向变换
对输入信号 - 滤波器设计
构建频率响应函数 - 频率域操作
计算乘积： - 逆向变换
对
3.滤波器类型
| 类型 | 功能 | |
|---|---|---|
| 低通滤波器 | 保留低频，抑制高频 | |
| 高通滤波器 | 保留高频，抑制低频 | |
| 带通滤波器 | 保留特定频带 | |
| 带阻滤波器 | 抑制特定频带 |
4.常用滤波器实现
-
理想滤波器
-
高斯滤波器
八.使用频率域滤波器平滑图像
图像平滑是图像处理中减少噪声或模糊细节的常见任务。在频率域中，这通过应用低通滤波器实现：首先将图像转换到频率域（使用傅里叶变换），然后抑制高频分量（对应噪声和细节），最后逆变换回空间域。这种方法比空间域滤波更高效，尤其在处理全局噪声时。下面我将逐步解释原理、滤波器类型和实现方法。
理论基础
图像的二维离散傅里叶变换（DFT）将其转换到频率域
：
其中和
是图像尺寸，
是频率坐标。
逆变换为：
平滑使用低通滤波器，它允许低频分量通过（对应平滑区域）而衰减高频分量（对应噪声）。
常见滤波器
包括：
-
理想低通滤波器 (Ideal Lowpass Filter)：
-
高斯低通滤波器 (Gaussian Lowpass Filter)：
九.使用频率域滤波器锐化图像
在频率域中，图像锐化通过增强高频分量实现，这些分量对应图像中的边缘和细节。核心原理是使用高通滤波器抑制低频信息（缓慢变化的区域），保留或增强高频信息（快速变化的边缘）。
关键步骤：
-
傅里叶变换
将图像从空间域转换到频率域：
-
滤波器设计
常用高通滤波器传递函数
- 理想高通滤波器
- 巴特沃斯高通滤波器
- 高斯高通滤波器
十.选择性滤波
选择性滤波是一种信号处理技术，旨在选择性地通过或抑制信号中的特定频率成分，同时最小化对其他频率的影响。它广泛应用于音频处理、图像增强、通信系统等领域，例如在降噪时保留有用信号或在均衡器中调整特定频段。下面我将逐步解释其原理、数学基础、应用场景，并提供实现示例。
1. 基本概念
选择性滤波的核心是通过设计滤波器的频率响应来实现对信号的选择性处理：
- 低通滤波 ：只允许低频信号通过（例如，
- 高通滤波 ：只允许高频信号通过（例如，
- 带通滤波 ：只允许特定频带通过（例如，
- 带阻滤波 ：抑制特定频带（例如，
"选择性"强调滤波器的陡峭过渡特性，即频率响应在截止点附近快速变化，以减少信号失真。
2. 数学原理
选择性滤波基于线性时不变系统理论，使用差分方程或传递函数描述。关键数学工具包括傅里叶变换和滤波器系数设计。
3. 应用场景
- 音频处理 ：在音乐制作中，选择性滤波用于均衡器，提升或削减特定频段（如增强低音
- 图像处理：在图像去噪时，使用高通滤波保留边缘细节（高频成分），抑制低频噪声。
- 通信系统：在无线传输中，带通滤波选择特定信道频率，避免干扰。
- 生物医学：EEG信号分析中，带阻滤波抑制50/60 Hz工频干扰。
关键优势是高精度控制，例如在雷达系统中分离目标信号。