一
1.数值 显示 格式
format style 设置
eg: pi format longE;
or
2.清除指令
clc 清除命令行窗口
clear 清除工作区
cls
3.搜索路径设置
path(path,'E:\ads\')
or
addpath
4.M文件
用户把要实现的命令写在一个以.m为扩展的文件中，然后由matlab系统进行解读，最后运行结果。
类型：
脚本：也可以自己写函数；
函数：函数名和文件名相同；
5.通用描述
general 命令
函数：rand(), sin(60)
工具箱
abs , sqrt, exp
help abs
分号；，不打印在命令行中
6.通用命令
常用：cls clf clear exit quit home echo type more cd dir load diary pack hold（图形保持
close
快捷键
\]向量和矩阵标识符  ## 二 ### 1.向量   冒号表示  linspace(a1,an,n) n默认100 ，首元素尾元素 等分间距 logspace(a1,an,n) n默认50 算数运算  点积和叉积    ### 2.矩阵matrix  特殊矩阵  ones(3,3) or ones(3) zeros( ) eye() diag()对角 magic rand 0-1均匀分布 randn 高斯分布      稀疏矩阵 非零元素和行列索引来存，节省空间； 密度： 转换函数：满矩阵-稀疏矩阵      #### 结论 MATLAB 的稀疏矩阵是**按索引存储**的，采用的是列优先顺序下的压缩列存储（CSC）格式。只保存了非零元素及其所在的行列索引，从而实现了高效的内存利用和运算性能。 导入外部数据 load 多维数组  ## 三 ### 1.数据类型  isinteger(x) class(x) 双精度浮点（默认）  ### 2.类型转换函数 复数：z = complex(x,y) z = complex(x) z = 12 + 6i; z = rand(2)\*2 ### 3.字符，结构体（C++）  ### 4.元胞数组  ### 5.函数句柄 可作为参数传递给其他函数，C++中有相同概念函数指针或回调函数，执行时机和逻辑分离；  ### 6.字符串    ## 四 ### 1.程序 M文件，扩展名.m。通过编写M文件可以实现各种复杂运算。  eg:  循环语句：for and while 前者有次数，后者没有，通过条件判断式来决定 条件语句：ifelse switch case   continue return break 交互命令： echo error keyboard ### 2.调试  ## 五 ### 矩阵运算  范数  det cond判断奇异性 rank trace 特征值和特征向量  矩阵空间夹角  ### 矩阵分解  #### 1.chol  #### 2.LU  #### 3.QR  #### 4.左右除： 为了方便记忆对哪个矩阵进行逆运算，规律如下： 在可逆形式下转换成逆矩阵，右除对右边矩阵逆，左除对左边矩阵逆。 1. C/B=C\*(inv(B)) (C右除B等于C乘以B的逆） 2. A\\C=inv(A)\*C （A左除C=A的逆乘以C）  ## 六 ### 1.可视化  eg:  步骤：  ### 2.二维图形绘制  双坐标轴  hold on 叠图  hold off 子图 subplot(m,n,k)  3.三维图形 plot3   mesh 三维网格图  surf  ### 3.二维特殊图形  饼状图  阶梯图  条形图  等高线  errorbar  ### 4.三维特殊图形函数   ### 5.四维  ## 七 ### 1.坐标轴和图形标注   标注：  图例标注：legend   取点：ginput  ### 2.命令控制   网格控制    view:观察点    ### 3.颜色     增亮：  颜色标尺：  背景色：  光照设置：  ### 4.图形窗口 创建：  get获得图形窗口属性；    打印或输出：  ## 八 ### 1.数学函数-\>matlab语言  #### 三角函数：    #### 指数对数 #### 复数   #### 截断或求余  ### 2.特殊函数    #### 坐标变换函数： #### 数论函数：  #### 素数  ## 九  ### 1.符号运算  sym:  syms:  class 对象类型  符号运算    化简：   #### 在 MATLAB 中，**符号对象（symbolic object）** 和 **普通数值（numeric value）** 的区别主要体现在**数据类型、计算方式、精度、用途**等方面。下面我分学术和工程两个角度给你梳理一下。 *** ** * ** *** #### 1. 数据类型不同 | 特性 | 符号对象 (`sym`) | 普通数值 (`double`, `single` 等) | |------|--------------------------|-----------------------------| | 数据类型 | 符号类型（Symbolic） | 浮点数类型（Numeric） | | 存储形式 | 存储的是数学表达式或符号常量，不是近似值 | 存储的是有限精度的二进制浮点数 | | 创建方式 | `syms x; f = sym('pi');` | `a = 3.1416;` | *** ** * ** *** #### 2. 计算方式不同 * **符号对象** * 按**符号推导**规则运算，不会做浮点近似化。 * 能进行代数化简、微分、积分、解方程等符号运算。 * 例如： syms x diff(sin(x)^2, x) % 结果是 2*sin(x)*cos(x) * **普通数值** * 按**数值计算**规则运算，采用 IEEE 754 双精度（或单精度）近似。 * 无法直接进行代数化简，结果通常是近似数。 * 例如： x = pi/3; diff(sin(x)^2, x) % 会报错，因为 x 只是数值 *** ** * ** *** #### 3. 精度与近似 * **符号对象** → 理论上**无限精度** （直到内存限制），保留 exact form，如 `pi`、`sqrt(2)`。 * **普通数值** → 有限精度（`double` 默认约 15\~16 位有效数字），存在舍入误差。 举例： sym(pi) - 4*atan(sym(1)) % 结果是 0（完全相等） pi - 4*atan(1) % 结果是 0（数值上接近，但可能不是精确 0） *** ** * ** *** #### 4. 用途上的区别 * **符号对象** * 符号微积分（`diff`、`int`） * 符号代数（`simplify`、`factor`） * 精确解析解（`solve`） * 高精度常数计算（配合 `vpa` 可指定位数） * **普通数值** * 数值仿真（ODE 数值解、FFT 等） * 工程数值计算（矩阵运算、统计分析等） * 实时计算与信号处理 *** ** * ** *** #### 5. 转换关系 * **数值 → 符号** a = 3.14; sym_a = sym(a); * **符号 → 数值** x = sym('pi'); double(x) % 转为 double 类型近似值 *** ** * ** *** #### 总结表 | 特性 | 符号对象 (sym) | 普通数值 (double/single) | |------|-------------|----------------------| | 精度 | 理论无限精度 | 有限（\~15 位） | | 运算方式 | 代数运算 | 浮点近似运算 | | 用途 | 推导、符号解、精确计算 | 数值计算、仿真 | | 内存占用 | 较大 | 较小 | | 速度 | 慢 | 快 | *** ** * ** *** MATLAB 之所以要引入 **符号对象（Symbolic Object）** ，本质上是因为**数值计算** 和**数学推导**的需求是两类完全不同的任务，而普通浮点数无法满足后一类任务的精确性与表达能力。 我分几个层次解释一下\*\*"为什么需要符号对象"\*\*。 *** ** * ** *** #### 1. 解决浮点数无法表达精确数学对象的问题 普通数值（`double`、`single`）存储的是**近似值**，而许多数学对象是无法用有限二进制小数精确表示的，比如： * π\\pi、ee、2\\sqrt{2} * 分数 13\\frac{1}{3} * 无理数、代数式 浮点数在这些情况下会引入舍入误差，而符号对象则保留**精确的数学形式**： sym(pi) % 保留为 π，不是 3.1416... *** ** * ** *** #### 2. 支持解析计算（Analytical Computation） 有些任务必须基于**公式推导**而不是近似数值： * 符号微分（得出通用公式，而非某一点的导数） * 符号积分（求出积分解析式） * 符号解方程（求变量的精确表达式） * 代数化简（消去公共因子、展开或因式分解） 例子： syms x diff(sin(x)^2, x) % 结果是 2*sin(x)*cos(x)，而不是数值 这种能力在通信理论推导、信号公式变换等科研任务中很重要。 *** ** * ** *** #### 3. 实现高精度或任意精度计算 浮点数精度有限（`double` 约 15\~16 位有效数字）。 当需要极高精度（如大数计算、误差敏感问题）时，浮点运算会累积误差。 符号对象配合 `vpa`（Variable Precision Arithmetic）可以按需求设置精度： vpa(pi, 50) % 计算 π 的 50 位有效数字 *** ** * ** *** #### 4. 支持数值与推导的混合工作流 在科研和工程计算中，经常需要先推导公式，再数值仿真。 * 推导阶段：用符号对象得到通用解析公式 * 仿真阶段：将符号公式转成数值函数，高速计算 这种模式可以减少人工推导错误，并在参数变化时自动更新公式。 例如 MU-MIMO 信道容量公式推导，可以用符号对象自动完成矩阵求导、迹运算等，再转为数值形式计算吞吐量。 *** ** * ** *** #### 5. 工程意义 * 避免手工推导的繁琐与易错性（符号引擎自动化） * 保证结果的数学严谨性（不会因为舍入误差而得到错误结论） * 提供可复用的解析模型（直接嵌入到数值计算中） *** ** * ** *** #### 总结一句 **符号对象的存在，是为了让 MATLAB 不仅能"算数"，还能"做数学"** 。 它让 MATLAB 既能做高速的数值计算（仿真），也能做精确的符号推导（理论分析），两者结合才适用于科研和高精度工程应用。 *** ** * ** *** 对，你的理解方向是对的，但我帮你精确化一下：**符号变量并不是简单的"把数值换成变量"** ，而是**把数值、变量甚至表达式都作为数学符号来处理**，从而保留它们的精确结构。 *** ** * ** *** #### 1. 普通数值 vs 符号变量的本质区别 * **普通数值** * 只存储具体的数（例如 3.1416），MATLAB 只能对它做数值运算。 * 计算结果是数值，没有"通用性"。 * **符号变量 / 符号对象** * 存储的是一个数学符号（例如 xx、π\\pi、2\\sqrt{2}），可以在运算中保持符号形式，不直接化成数值。 * 能保留变量之间的关系，形成通用公式。 * 计算结果可以是另一个公式，而不是一个单一的数。 *** ** * ** *** #### 2. 例子直观比较 #### 数值计算 x = pi/3; % 数值 y = sin(x)^2; % 已经是数值 diff(y, x) % ❌ 报错，因为 y 是数值，不是表达式 #### 符号计算 syms x y = sin(x)^2; % 符号表达式 dy = diff(y, x) % 结果: 2*sin(x)*cos(x) 这里 `x` 就是一个符号变量，不是具体数值，所以 MATLAB 可以对它做微分、积分、化简等操作。 *** ** * ** *** #### 3. 不只是变量，还能是"精确数" 符号对象还可以表示常数的精确形式： sym(1/3) % 保留为 1/3 1/3 % double 结果是 0.3333... 这意味着符号对象不仅仅是 "未知量 xx"，也可以是一个**精确常数** 或一个**代数式**。 *** ** * ** *** #### 4. 总结你的那句话 > 符号变量并非简单地将数值替换为变量，而是以符号形式存储数学对象（变量、常数或表达式），使其在运算中保留解析结构，从而能够生成通用公式，而不仅是针对特定数值的结果。 *** ** * ** *** [MATLAB符号变量的创建和简单运算-CSDN博客](https://blog.csdn.net/weixin_44795839/article/details/107166791 "MATLAB符号变量的创建和简单运算-CSDN博客") ### 2.符号表达式  作为一个公式；  #### 极限：  #### 求和：  #### 泰勒：  #### 积分：   #### 傅里叶变换：  eg:阶跃函数  #### 拉普拉斯变换：  eg:  #### Z变换：  eg:  ### 3.符号矩阵运算     ### 4.符号方程求解  ### 5.可视化数学分析窗口  #### 泰勒级数分析：  ### 总结 是的，你现在已经抓到符号对象的核心特性了。 更精确地说，**符号对象可以在两种"模式"下使用**： *** ** * ** *** #### 1. 作为"表达式"运算（符号模式） * 所有变量、矩阵、公式保持符号形式，不转成具体数值。 * 运算结果依旧是**另一个公式**（而不是数）。 * 常见用途：推导公式、化简表达式、符号微分/积分、符号解方程等。 例子： syms x y f = sin(x)^2 + y^2; % 符号表达式 dfdx = diff(f, x) % 结果是 2*sin(x)*cos(x) *** ** * ** *** #### 2. 对符号赋值求数值（数值模式） * 可以用 `subs` 将符号变量替换成具体值，再用 `double` 转换为数值。 * 常见用途：公式推导完成后，用特定参数计算结果。 例子： syms x y f = sin(x)^2 + y^2; f_sub = subs(f, [x y], [pi/3 2]); % 用具体值替换符号 num_result = double(f_sub) % 转成 double 类型数值 *** ** * ** *** #### 3. 符号矩阵同理 * **推导阶段**：符号矩阵保留精确结构，可做代数运算（行列式、逆、迹等）。 * **计算阶段**：赋值并数值化求具体结果。 例子： syms a b c d A = [a b; c d]; det_A = det(A) % 结果是 a*d - b*c （公式） det_num = double(subs(det_A, [a b c d], [1 2 3 4])) % 结果是 -2 *** ** * ** *** #### ✅ **总结** 你完全可以先用符号对象推导出通用表达式（保持解析精度），然后在需要时给符号变量赋值求数值。 这种"先符号推导 → 再数值计算"的模式特别适合**通信系统公式推导 + 仿真**这类科研任务，因为能避免手算公式的易错性，又能在仿真中复用公式。 *** ** * ** *** ## 十 数值计算：  ### 求解方案：  高斯：  迭代法：对高阶    ### 插值：   插值（**Interpolation** ）在数学和信号处理里，指的是**已知一组离散数据点，通过一定方法推算这些点之间未知位置的值** 。 它的本质就是------**用一个连续函数去"穿过"这些已知点，然后用它估计中间点**。 *** ** * ** *** #### 1. 插值的基本概念 假设你知道某函数在 x0,x1,...,xnx_0, x_1, \\dots, x_n 处的值 y0,y1,...,yny_0, y_1, \\dots, y_n， 插值的目标就是**构造一个函数 P(x)P(x)**，使得： P(xi)=yi,i=0,1,...,nP(x_i) = y_i, \\quad i=0,1,\\dots,n 并用 P(x)P(x) 来估算这些已知点之间的任意位置的值。 *** ** * ** *** #### 2. 插值 vs 拟合 * **插值** ：要求插值函数**严格通过所有已知数据点**，没有偏差。 * **拟合**：允许拟合曲线与数据点有一定误差，更关注整体趋势（比如最小二乘法拟合）。 *** ** * ** *** #### 3. 常见插值方法 | 方法 | 特点 | 举例 | |-----------------------------|--------------------------|-------------------------------| | **线性插值** (Linear) | 相邻两点之间用直线连接，简单快速 | `interp1(x, y, xq, 'linear')` | | **多项式插值** (Polynomial) | 用高次多项式穿过所有点 | 拉格朗日插值、多项式插值公式 | | **分段三次样条插值** (Cubic Spline) | 分段三次多项式，保证一阶、二阶导数连续，曲线平滑 | `interp1(x, y, xq, 'spline')` | | **二维/多维插值** | 适用于二维/三维数据 | `interp2`、`interpn` | | **傅里叶插值** | 用周期信号的频域展开做插值 | 信号处理中的带限插值 | *** ** * ** *** #### 4. MATLAB 中的插值示例 x = [0 1 2 3]; y = [0 1 0 1]; xq = 0:0.1:3; % 查询点 y_linear = interp1(x, y, xq, 'linear'); % 线性插值 y_spline = interp1(x, y, xq, 'spline'); % 样条插值 plot(x, y, 'o', xq, y_linear, '-', xq, y_spline, '--'); legend('原始点', '线性插值', '样条插值'); *** ** * ** *** #### 5. 工程与科研中的意义 * **信号处理**：将离散采样信号恢复到连续时间（带限插值）。 * **通信系统**：定时同步、信道估计中利用插值获得未采样点的信道响应。 * **数值计算**：在已知离散解的情况下估算中间值（如有限元分析）。 * **图像处理**：图像缩放（最近邻插值、双线性插值、双三次插值）。 *** ** * ** *** 📌 一句话总结： > 插值是"已知几个点，填补中间的空白"的过程，本质上是用一个连续函数通过这些点，然后用它预测未知点的值。 *** ** * ** ***  拟合：  `polyfit` 和 `polyval` 是 MATLAB 里一对常用的**多项式拟合 + 计算工具**，它们经常配合使用，但作用不同： *** ** * ** *** #### 1. `polyfit` ------ 求多项式系数（拟合阶段） **作用** ：给定一组数据点，找到一个**指定阶数的多项式**，使它在最小二乘意义下尽量接近这些数据。 **语法**： p = polyfit(x, y, n) * `x`、`y`：数据点（长度相同的向量） * `n`：拟合多项式的阶数 * `p`：返回一个行向量，包含从高次项到常数项的系数 例子： x = [1 2 3 4]; y = [2.2 2.8 3.6 4.5]; p = polyfit(x, y, 1) % 一阶拟合（直线） % p 可能返回 [0.77 1.45]，对应 0.77*x + 1.45 *** ** * ** *** #### 2. `polyval` ------ 计算多项式值（预测阶段） **作用**：根据多项式系数，计算多项式在某些点的值。 **语法**： y_fit = polyval(p, xq) * `p`：由 `polyfit` 返回的系数向量 * `xq`：要计算的自变量值（可为标量、向量或矩阵） * `y_fit`：对应的多项式值 例子： xq = 1:0.5:4; % 查询点 yq = polyval(p, xq) % 根据拟合多项式预测 *** ** * ** *** #### 3. `polyfit` + `polyval` 组合使用示例 % 原始数据 x = [1 2 3 4]; y = [2.2 2.8 3.6 4.5]; % 用二阶多项式拟合 p = polyfit(x, y, 2); % 生成更密的 x 值进行预测 xq = linspace(1, 4, 100); yq = polyval(p, xq); % 绘图 plot(x, y, 'o', xq, yq, '-'); legend('原始数据', '二阶拟合曲线'); *** ** * ** *** #### 4. 和插值的区别 * **插值** ：要求曲线**经过所有原始点**（误差为 0）。 * **`polyfit` 拟合**：允许曲线不经过所有点，目标是最小化总体误差（最小二乘法）。 * 多项式插值也能用 `polyfit` 实现，但拟合阶数要等于数据点数减 1（容易震荡）。 *** ** * ** *** ✅ **总结** * **`polyfit`**：求多项式系数（拟合/插值） * **`polyval`**：用系数计算多项式值（预测/绘制） * 常用组合： **先 `polyfit` 找系数 → 再 `polyval` 画曲线或求值** *** ** * ** *** 如果你需要，我可以帮你画一张\*\*"polyfit vs 插值"对比图\*\*，让你直观看到同一组点用线性拟合、二次拟合、样条插值的区别。这样你在科研（比如 MU-MIMO 信道曲线建模）时能快速判断用哪种方法。