C++ 面试高频考点 力扣 852. 山脉数组的峰顶索引 二分查找 题解 每日一题

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题目描述

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力扣852. 山脉数组的峰顶索引


题目描述:

示例 1:

输入: arr = [0,1,0]

输出: 1
示例 2:

输入: arr = [0,2,1,0]

输出: 1
示例 3:

输入: arr = [0,10,5,2]

输出: 1
注意:

3 <= arr.length <= 105

0 <= arr[i] <= 106

题目数据 保证 arr 是一个山脉数组

为什么这道题值得弄懂?

这道题是二分查找的经典**"单调性分段"问题**------山脉数组虽整体不单调,但可根据"峰顶左侧递增、右侧递减"的特性,划分出具有明确规律的两段区间。通过这道题,能进一步掌握"如何根据题目特性定义二分的判断条件",并强化对"指针移动逻辑""边界初始化"等细节的理解,为解决更复杂的分段查找问题(如旋转数组查找)打下基础。

为什么可以用二分?

二分查找的核心是利用数组的"二段性"------将数组分为"满足某条件"和"不满足某条件"的两部分,每次舍弃其中一部分,从而将时间复杂度压缩到 O(log n)。

本题中,山脉数组的"二段性"体现在:

  • 对于任意下标 mid,若 arr[mid] < arr[mid + 1]:说明 mid 处于递增段 ,峰顶一定在 mid 的右侧(包括 mid + 1);
  • arr[mid] > arr[mid + 1]:说明 mid 处于递减段 ,峰顶一定在 mid 的左侧(包括 mid)。

基于此特性,我们可通过二分不断缩小区间,最终定位到唯一的峰顶下标。

二分查找的核心思路:基于"递增/递减段"划分区间

本题的核心是通过 arr[mid]arr[mid + 1] 的大小关系,判断 mid 所在的分段,进而确定峰顶的位置范围,逐步缩小区间。

1. 关键细节:边界初始化(为什么 left=1,right=arr.size()-2?)

题目明确给出两个关键条件:

  • 山脉数组严格递增后严格递减,且长度 ≥ 3;
  • 峰顶下标 i 满足 0 < i < arr.length - 1(即峰顶不可能是数组的第一个或最后一个元素)。

因此,我们无需从 0arr.size()-1 开始查找,直接将初始边界设为:

  • left = 1:排除第一个元素(不可能是峰顶);
  • right = arr.size() - 2:排除最后一个元素(不可能是峰顶)。

这一初始化不仅减少了不必要的查找次数,还避免了后续判断中"mid+1 越界"的风险(因 right 最大为 arr.size()-2mid 最大为 arr.size()-2mid+1 最大为 arr.size()-1,属于合法下标)。

2. 二段性划分与判断条件

arr[mid] < arr[mid + 1] 作为核心判断条件,将数组分为两段:

  • 满足条件(递增段)arr[mid] < arr[mid + 1] → 峰顶在 mid 右侧(mid + 1right);
  • 不满足条件(递减段)arr[mid] > arr[mid + 1] → 峰顶在 mid 左侧(leftmid)。

示例 :若 arr = [0,10,5,2],取 mid = 1left=1, right=2):

  • arr[1] = 10arr[2] = 5,满足 arr[mid] > arr[mid + 1] → 峰顶在 left=1mid=1 之间,直接定位到峰顶。

3. 指针移动逻辑

根据上述二段性划分,指针移动规则如下:

  • arr[mid] < arr[mid + 1]mid 在递增段,峰顶一定在 mid 右侧,因此舍弃左侧区间(包括 mid),将 left 更新为 mid + 1
  • arr[mid] > arr[mid + 1]mid 在递减段,峰顶一定在 mid 左侧(或 mid 本身),因此舍弃右侧区间(不包括 mid),将 right 更新为 mid

关键逻辑 :为什么 arr[mid] > arr[mid + 1]right = mid

因为 mid 有可能就是峰顶(例如 arr = [0,2,1]mid=1arr[1] > arr[2]mid 本身就是峰顶),若将 right 更新为 mid - 1,会漏掉峰顶,导致结果错误。

4. 循环结束条件

循环条件设为 left < right,当 left == right 时,区间缩小到唯一元素,该元素就是峰顶的下标,循环结束。

至于为什么无需进一步判断,是因为二分的每一步都严格根据"递增/递减段"缩小范围,最终 leftright 会收敛到唯一的峰顶下标,无需额外验证。

5. 中间值(mid)的取法

采用向下取整mid = left + (right - left) / 2(等价于 (left + right) // 2,避免整数溢出)。

为什么不用向上取整?

若用向上取整(mid = left + (right - left + 1) / 2),当区间长度为 2 时(如 left=1, right=2arr = [0,3,2]):

  • 计算 mid = 1 + (2-1+1)/2 = 2
  • arr[2] > arr[3](此处 arr[3] 不存在,实际 mid=2right 边界,arr[2] > arr[3] 不成立,实际判断为 arr[2] > arr[3] 会越界?不,实际 right 最大为 arr.size()-2mid 最大为 arr.size()-2mid+1arr.size()-1,合法)。
    更关键的问题是:当 left=1, right=2arr[1] < arr[2] 时(如 arr = [0,1,3,2]left=1, right=2):
  • 向上取整 mid=2,判断 arr[2] > arr[3](成立),则 right=2
  • 此时 left=1 < right=2,循环继续,再次计算 mid=1 + (2-1+1)/2=2,陷入死循环

而向下取整可避免此问题:

  • 同样 left=1, right=2mid=1 + (2-1)/2=1
  • arr[1] < arr[2],则 left=mid+1=2,此时 left==right,循环结束,无死循环。

代码实现

cpp 复制代码
class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
        // 边界初始化:排除首尾元素(不可能是峰顶)
        int left = 1, right = arr.size() - 2;
        // 循环缩小区间,直到left == right(定位到峰顶)
        while (left < right) {
            // 中间值向下取整,避免死循环
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if (arr[mid] < arr[mid + 1]) {
                // mid在递增段,峰顶在右侧,舍弃左侧
                left = mid + 1;
            } else {
                // mid在递减段,峰顶在左侧(含mid),舍弃右侧
                right = mid;
            }
        }
        // 循环结束时,left == right,即为峰顶下标
        return left;
    }
};

总结:二分查找的关键细节复盘

  1. 边界初始化要结合题目条件 :利用"峰顶不可能是首尾元素"的特性,将 left 设为 1、right 设为 arr.size()-2,减少查找次数并避免越界;
  2. 判断条件要紧扣"二段性" :通过 arr[mid]arr[mid+1] 的大小关系,明确 mid 所在的分段(递增/递减),进而确定峰顶的范围;
  3. 指针移动要避免"漏解" :当 arr[mid] > arr[mid+1] 时,right = mid(而非 mid-1),防止漏掉 mid 本身就是峰顶的情况;
  4. 中间值取整要匹配循环逻辑 :因 left 可能更新为 mid+1right 可能更新为 mid,需用向下取整避免区间长度为 2 时的死循环。

这道题的核心是"利用局部单调性划分二段区间",掌握这一思路后,面对旋转数组、分段有序数组等更复杂的查找问题,也能快速找到二分的判断条件和边界逻辑。

下一篇题目预告

本次我们通过"山脉数组峰顶索引"掌握了"局部单调性+二段性"的二分思路,下一篇将进阶讲解同类型但更灵活的题目------力扣162. 寻找峰值。该题中数组可能存在多个峰值,且边界可视为"无穷小",需要在本次思路基础上调整判断逻辑,感兴趣的朋友可以提前浏览题目,思考如何用二分解决,我们下一篇详细拆解!

"Doro又又又带着小花🌸来啦!这道山脉数组的峰顶索引,是不是把'局部单调性+二分二段性'的细节讲透了呀?不管是'left从1开始、right到size-2结束'的边界技巧,还是'mid向下取整避免死循环'的关键逻辑,只要把这些点吃透,以后遇到'分段有序数组找目标'的题,就能快速找到突破口啦~

如果觉得这篇拆解帮你理清了二分的思路,别忘了点赞收藏呀!下次写二分题想不起来边界怎么设、指针怎么移时,翻到这篇就能快速回忆细节~

关注博主,后面还会一起攻克更多二分变形题,比如下一篇要讲的「寻找峰值」,从'会写二分'到'写对二分',咱们一步一步慢慢进阶!"

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