文章目录
- 题目描述
- 为什么这道题值得你用几分钟的时间弄懂？
- 二分的依据
- 二分的两种不同思路
-
- [右端点（nums[nums.size() - 1]）](#右端点（nums[nums.size() - 1]）)
- 左端点（nums[0]）
- 细节总结
- 下题预告
题目描述
题目链接：
力扣153.寻找旋转排序数组中的最小值
题目描述：
示例 1：
输入：nums = [3,4,5,1,2]
输出：1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5] ，旋转 3 次得到输入数组。
示例 2：输入：nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出：0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7] ，旋转 4 次得到输入数组。
示例 3：输入：nums = [11,13,15,17]
输出：11
解释：原数组为 [11,13,15,17] ，旋转 4 次得到输入数组。
提示：1.n == nums.length
2.1 <= n <= 5000
3.-5000 <= nums[i] <= 5000
4.nums 中的所有整数 互不相同
5.nums 原来是一个升序排序的数组，并进行了 1 至 n 次旋转
为什么这道题值得你用几分钟的时间弄懂？
首先这道题的细节思路差异有很多，当我们完全理清细节上的差异时，会对二分查找有更深刻的理解。其次，这道题利用"数组旋转后仍保留部分单调性"的性质来分析二段性，这个逻辑比基础二分查找稍难理解------它不是直接对"整体有序"的数组操作，而是对"局部有序、分段有序"的数组拆解，能帮你突破对二分查找的固有认知。
我不会着重讨论二分查找的通用细节（如 mid 计算方式、循环终止条件等），如果是第一次接触我的博客，建议先从这篇基础博客开始力扣 704.二分查找 基础二分查找，可以进入我的主页这段时间我做的题目都是关于二分查找的，可以从上面的那个博客往后看相信会让你对二分理解的更加深刻；如果是一直跟进的老朋友，直接往下看即可，逻辑衔接会很顺畅。
二分的依据
这道题乍看数组"忽高忽低"，似乎无法用二分，但核心关键在于：旋转前的数组是严格单调递增的，旋转后仍会保留"两段单调递增"的特性------我们可以基于这个特性找到"二段性"，进而用二分解决问题。
具体来说，旋转后的数组只会出现两种情况：
- 未发生有效旋转（或旋转后回到原状态） ：数组仍为整体单调递增，例如
[11,13,15,17] - 发生有效旋转 ：数组被拆分为左右两段独立的单调递增子数组，且左段的所有元素都大于 右段的所有元素。例如
[4,5,6,7,0,1,2]拆分为左段[4,5,6,7]和右段[0,1,2]，左段最小值4大于右段最大值2，如下图👇（左段[4,5,6,7]对应AB ，右段[0,1,2]对应CD）
正是这种"要么整体有序，要么两段有序且左段>右段"的特性，为二分查找提供了判断依据------我们可以通过与数组的端点值对比，确定最小值所在的区间，进而缩小范围。
二分的两种不同思路
上面我们确定了数组的二段性，接下来关键是"如何利用端点值划分区间"。这里有两种核心思路：以右端点 为基准，或以左端点为基准。
右端点（nums[nums.size() - 1]）
首先明确一个结论：无论数组是否旋转，右端点（D）一定属于"右段单调子数组" （若未旋转，整个数组就是右段），且右段的所有元素都小于等于 右端点（因为右段单调递增），左段的所有元素都大于 右端点（因为左段>右段）。
例如：
- 旋转数组
[4,5,6,7,0,1,2]：右端点是2，右段[0,1,2]都 ≤ 2，左段[4,5,6,7]都 ＞ 2； - 未旋转数组
[11,13,15,17]：右端点是17，整个数组（右段）都 ≤ 17，无左段。
基于这个结论，当我们计算中间值 nums[mid] 时，会出现两种情况：
1. nums[mid] < nums[right]（中间值小于右端点）
结合下图，此时 nums[mid] 必然属于右段 （因为左段元素都大于右端点，不可能小于右端点）。由于右段单调递增，最小值一定在 mid 左侧（包括 mid 本身）------因为 mid 右侧的元素都 ≥ nums[mid]，不可能是最小值。
例如：nums = [4,5,6,7,0,1,2]，right=6（值为2），若 mid=4（值为0），0 < 2，则最小值在 [0,4] 区间内（实际最小值就是 0）。
因此，我们需要舍弃右半部分，令 right = mid。
2. nums[mid] >= nums[right]（中间值大于等于右端点）
结合下图，此时 nums[mid] 必然属于左段 （因为右段元素都 ≤ 右端点，不可能大于右端点）。由于左段单调递增且左段>右段，mid 及其左侧的元素都大于右段元素，最小值一定在 mid 右侧------mid 本身不可能是最小值。
例如：nums = [4,5,6,7,0,1,2]，right=6（值为2），若 mid=2（值为6），6 ≥ 2，则最小值在 [3,6] 区间内（排除了左段 [4,5,6]）。
因此，我们需要舍弃左半部分，令 left = mid + 1。
代码实现
cpp
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
int left = 0, right = n - 1;
int x = nums[right]; // 提前存储右端点值，避免重复计算
while (left < right) { // 循环终止时 left == right，即为最小值下标
int mid = left + (right - left) / 2; // 避免溢出，等价于 (left+right)/2
if (nums[mid] < x) {
right = mid; // 舍弃右半部分，最小值在左侧
} else {
left = mid + 1; // 舍弃左半部分，最小值在右侧
}
}
return nums[left]; // 此时 left == right，返回对应值
}
};左端点（nums[0]）
以左端点为基准的逻辑稍复杂，先明确结论：左端点一定属于"左段单调子数组" （若未旋转，整个数组就是左段），且左段的所有元素都大于等于 左端点（左段单调递增），右段的所有元素都小于 左端点（左段>右段）。
例如：
- 旋转数组
[4,5,6,7,0,1,2]：左端点是4，左段[4,5,6,7]都 ≥ 4，右段[0,1,2]都 ＜ 4； - 未旋转数组
[11,13,15,17]：左端点是11，整个数组（左段）都 ≥ 11，无右段。
这里的关键问题是：未旋转数组会打破"左段>右段"的逻辑------此时数组整体递增，若仍按"左端点基准"判断，会出现错误。因此，以左端点为基准时，需要先处理"未旋转"的特殊情况。
接下来，在"已旋转"的前提下，计算中间值 nums[mid] 会出现两种情况，咱们将特殊情况放到最后说：
1. nums[0] > nums[mid]（左端点大于中间值）
结合下图，此时 nums[mid] 必然属于右段 （因为左段元素都 ≤ 左端点，不可能小于左端点）。由于右段单调递增，最小值一定在 mid 左侧（包括 mid 本身）------因为 mid 右侧的元素都 ≥ nums[mid]。
例如：nums = [4,5,6,7,0,1,2]，nums[0] = 4，若 mid=4（值为0），4 > 0，则最小值在 [0,4] 区间内（实际最小值就是 0）。
因此，我们需要舍弃右半部分，令 right = mid。
2. nums[0] <= nums[mid]（左端点小于等于中间值）
结合下图，此时 nums[mid] 必然属于左段 （因为右段元素都 ＜ 左端点，不可能大于等于左端点）。由于左段单调递增且左段>右段，mid 及其左侧的元素都大于右段元素，最小值一定在 mid 右侧------mid 本身不可能是最小值。
例如：nums = [4,5,6,7,0,1,2]，nums[0] = 4，若 mid=2（值为6），4 ≤ 6，则最小值在 [3,6] 区间内（排除了左段 [4,5,6]）。
因此，我们需要舍弃左半部分，令 left = mid + 1。
nums[0] <= nums[mid]的特殊情况处理
如前所述，若数组未旋转 （整体递增），例如 [11,13,15,17]，此时 nums[0] = 11，无论 mid 取何值，nums[mid] 都 ≥ nums[0]，会触发"left = mid + 1"的逻辑，导致 left 不断右移就（我的left要远航了...），最终错过最小值 11。
因此，以左端点为基准时，必须先判断数组是否未旋转 ：若 nums[left] < nums[right]（整体递增），直接返回 nums[left]（即左端点，也是最小值）。
代码实现
cpp
class Solution {
public:
int findMin(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
int left = 0, right = n - 1;
// 特殊情况：数组未旋转（整体递增），直接返回左端点（最小值）
if (nums[left] < nums[right]) {
return nums[left];
}
int x = nums[left]; // 提前存储左端点值，避免重复计算
while (left < right) { // 循环终止时 left == right，即为最小值下标
int mid = left + (right - left) / 2; // 避免溢出
if (x > nums[mid]) {
right = mid; // 舍弃右半部分，最小值在左侧
} else {
left = mid + 1; // 舍弃左半部分，最小值在右侧
}
}
return nums[left]; // 此时 left == right，返回对应值
}
};细节总结
通过上面两种思路的对比，我们可以解答两个关键细节问题：
1. 为什么右端点不用判断是否为单调递增数组，左端点却要判断？
核心原因是两种基准的"特殊情况兼容性"不同：
- 对于右端点基准 ：未旋转数组的"整体递增"可以被纳入"右段单调递增"的逻辑中------此时右段就是整个数组，
nums[mid] < nums[right]会始终成立，right会不断左移，最终left == right指向左端点（最小值），无需额外判断； - 对于左端点基准 ：未旋转数组的"整体递增"会打破"左段>右段"的逻辑------此时无右段，
nums[0] <= nums[mid]始终成立，left会不断右移，最终指向右端点（最大值），导致错误。因此必须提前判断"整体递增"的情况。
2. x = nums[] 有必要一定写吗?
在我尝试这道题目的时候最开始没有用一个x来单独存储最左或最右侧的点，但是也能跑过所以我想在总结这里讨论下：写不写都能跑通的原因是 核心是因为数组端点值（nums[right] 或 nums[left]）在整个二分过程中始终固定不变，重复访问也不会出错，只是用 x 存储能减少数组下标重复访问的开销、让代码更直观。
虽然不是"必须"，但强烈建议写 ，原因有两点：
（1）提升代码可读性 ：用 x 代表"基准端点值"，循环内的 if (nums[mid] < x) 比 if (nums[mid] < nums[right]) 更直观，能让读者一眼看出"当前判断是基于基准值"，降低理解成本。
（2）避免重复计算 ：在循环中，nums[right] 或 nums[left] 的值不会变化（right 和 left 是下标，端点值固定），提前用 x 存储后，循环内只需访问 x，无需重复访问数组下标，减少操作开销；
下题预告
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下一篇博客我们将讨论力扣中的 LCR 173. 点名（本质是"在单调递增数组中找缺失元素"，同样可以用二分查找高效解决，且会涉及新的二段性分析思路）。