本文涉及知识点
P10580 [蓝桥杯 2024 国 A] gcd 与 lcm
题目描述
给定两个数 x , y x,y x,y,求有多少种不同的长度为 n n n 的序列 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) (a_1,a_2,\cdots,a_n) (a1,a2,⋯,an),其所有元素的最大公约数为 x x x 且最小公倍数为 y y y。
两个序列 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a n ) (a_1,a_2,\cdots,a_n) (a1,a2,⋯,an) 与 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) (b_1,b_2,\cdots,b_n) (b1,b2,⋯,bn) 不同,是指存在至少一个位置 i i i 满足 a i ≠ b i a_i\neq b_i ai=bi。
由于答案可能很大,请输出答案对 998 244 353 998\ 244\ 353 998 244 353 取模后的结果。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 Q Q Q 表示询问次数。
接下来 Q Q Q 行,每行包含三个整数 x , y , n x,y,n x,y,n 表示一组询问,相邻整数之间使用一个空格分隔。对于每个询问,保证至少存在一个满足条件的序列。
输出格式
输出 Q Q Q 行,每行包含一个整数,依次表示每个询问的答案。
输入输出样例 #1
输入 #1
3
3 6 2
12 144 3
233 251640 10
输出 #1
2
72
905954656
说明/提示
对于 40 % 40\% 40% 的评测用例, n ≤ 30 n\le 30 n≤30;
对于 70 % 70\% 70% 的评测用例, n ≤ 5000 n\le 5000 n≤5000;
对于所有评测用例, 1 ≤ Q ≤ 100 1\le Q\le 100 1≤Q≤100, 2 ≤ n ≤ 1 0 5 2\le n\le 10^5 2≤n≤105, 1 ≤ x , y ≤ 1 0 9 1\le x,y\le 10^9 1≤x,y≤109。
数论
本题 ⟺ g c d ( a ) = = 1 , l c m ( a ) = z = y / x \iff gcd(a)==1,lcm(a)=z=y/x ⟺gcd(a)==1,lcm(a)=z=y/x
对z进行质因数分解, z = Π p i c i z=\Pi p_i^{c_i} z=Πpici
显然各 p i p_i pi是独立,子方案数相乘便是总方案数。
至少一个数不包括 p i p_i pi否则不互质,枚举 a [ j ] 是第一个不包括质因数 p i 的数 a[j]是第一个不包括质因数p_i的数 a[j]是第一个不包括质因数pi的数
则:
a k , k < j a_k,k<j ak,k<j取值范围[1,c_i];k>j,取值范围[0,c_i]$不会超限。
c i j ( c i + 1 ) n − j − 1 {c_i}^j(c_i+1)^{n-j-1} cij(ci+1)n−j−1
要扣掉所有 a i a_i ai都不取 c i c_i ci的方案数:
c i − 1 j ( c i ) n − j − 1 {c_i-1}^j(c_i)^{n-j-1} ci−1j(ci)n−j−1
时间复杂度 :O(nlognlogn)
质因数数量和快速指数幂时间复杂度是logn。
超时,预处理好 c i , c i + 1 c_i,c_i+1 ci,ci+1的幂。时间复杂度:降为O(nlogn)
代码
核心代码
cpp
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
{
}
C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this *= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(T2 n)const
{
C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
T1 ToInt()const
{
return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
}
private:
T1 m_iData = 0;;
};
template<class T = int>
class CUniqueFactorization
{
public:
CUniqueFactorization(T iPrime, int cnt) {
m_data.emplace_back(iPrime, cnt);
}
CUniqueFactorization(vector<T> primes = {}, vector<int> cnts = {}) {
for (int i = 0; i < primes.size(); i++) {
m_data.emplace_back(primes[i], cnts[i]);
}
}
CUniqueFactorization operator+ (const CUniqueFactorization& o)const {
return Add(o, true);
}
CUniqueFactorization Add(const CUniqueFactorization& o, bool bIgornZero = false)const {
CUniqueFactorization ret;
int i = 0, j = 0;
while ((i < m_data.size()) && (j < o.m_data.size())) {
if (m_data[i].first == o.m_data[j].first) {
int cnt = m_data[i].second + o.m_data[j].second;
if ((0 != cnt) || !bIgornZero)
{
ret.m_data.emplace_back(m_data[i].first, cnt);
}
i++, j++;
}
else if (m_data[i].first < o.m_data[j].first) {
ret.m_data.emplace_back(m_data[i]);
i++;
}
else {
ret.m_data.emplace_back(o.m_data[j]);
j++;
}
}
ret.m_data.insert(ret.m_data.end(), m_data.begin() + i, m_data.end());
ret.m_data.insert(ret.m_data.end(), o.m_data.begin() + j, o.m_data.end());
return ret;
}
CUniqueFactorization negation()const {
CUniqueFactorization ret;
ret = *this;
for (auto& [i, cnt] : ret.m_data) {
cnt *= -1;
}
return ret;
}
CUniqueFactorization GetValue(const CUniqueFactorization& o)const {
CUniqueFactorization ret;
for (const auto& [pri, cnt] : m_data) {
ret.m_data.emplace_back(pri, 0);
}
return ret + o;
};
pair<T, T> Union()const {
long long ll1 = 1, ll2 = 1;
for (auto [pri, cnt] : m_data) {
auto& ll = (cnt >= 0) ? ll1 : ll2;
for (int j = 0; j < abs(cnt); j++) {
ll *= pri;
}//可以用快速指数幂加速
}
return { ll1,ll2 };
}
vector<pair<T, int>> m_data;
};
class CCreatePrime {
public:
CCreatePrime(int iMax) :m_isPrime(iMax + 1, true)
{
m_isPrime[0] = m_isPrime[1] = false;
for (int i = 2; i <= iMax; i++)
{
if (m_isPrime[i])
{
m_vPrime.emplace_back(i);
}
for (const auto& n : m_vPrime)
{
if ((long long)n * i > iMax) { break; }
m_isPrime[n * i] = false;
if (0 == i % n) { break; }
}
}
}
vector<int> m_vPrime;
vector<bool> m_isPrime;
};
template<class T = int>
class CUniqueFactorizationFactory {
public:
CUniqueFactorizationFactory(T iMax) :m_cc(sqrt(iMax) + 2), m_vPrime(m_cc.m_vPrime) {
}
CUniqueFactorization<T> Factorization(T x) {
CUniqueFactorization<T> ret;
for (const auto& iPre : m_vPrime) {
int cnt = 0;
while (0 == x % iPre) {
cnt++;
x /= iPre;
}
if (cnt > 0) {
ret.m_data.emplace_back(iPre, cnt);
}
if (iPre * iPre > x) { break; }
}
if (x > 1) {
ret.m_data.emplace_back(x, 1);
}
return ret;
}
const vector<int>& m_vPrime;
protected:
CCreatePrime m_cc;
};
typedef C1097Int<998244353> BI;
class Solution {
public:
int Ans(int x,int y,int n) {
BI ans(1);
const int z = y / x;
auto uf = CUniqueFactorizationFactory(z).Factorization(z);
for (const auto& [p, c] : uf.m_data) {
BI cur = 0;
vector<BI> cs(n, 1), c1s(n, 1);
for (int i = 1; i < n; i++) {
cs[i] = cs[i - 1] * c;
c1s[i] = c1s[i - 1] * (c + 1);
}
BI c1 = 1, c2 = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) {
cur += c1* c1s[n - j - 1];
cur -= c2 * cs[n - j - 1];
c1 *= c;
c2 *= (c - 1);
}
ans *= cur;
}
return ans.ToInt();
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
int T,x,y,n;
cin >> T;
for (int t = 0; t < T; t++)
{
cin >> x >> y >> n ;
#ifdef _DEBUG
//printf("N=%d", N);
//Out(not1, ",not1=");
//Out(ope, ",ope=");
//Out(str2, ",str2=");
//Out(que, ",ope=");
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(x,y,n);
cout << res << "\n";
}
}
单元测试
cpp
TEST_METHOD(TestMethod11)
{
auto res = Solution().Ans(3,6,2);
AssertEx(2, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod12)
{
auto res = Solution().Ans(12, 144 ,3);
AssertEx(72, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod13)
{
auto res = Solution().Ans(233 ,251640 ,10);
AssertEx(905954656, res);
}

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视频课程
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https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统:win7 开发环境: VS2019 C++17
或者 操作系统:win10 开发环境: VS2022 C++17
如无特殊说明,本算法 用**C++**实现。