【数论】P10580 [蓝桥杯 2024 国 A] gcd 与 lcm|普及+

闻缺陷则喜何志丹2025-09-07 8:19

本文涉及知识点

数论：质数、最大公约数、菲蜀定理

P10580 [蓝桥杯 2024 国 A] gcd 与 lcm

题目描述

给定两个数 x , y x,y x,y，求有多少种不同的长度为 n n n 的序列 ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) (a_1,a_2,\cdots,a_n) (a1,a2,⋯,an)，其所有元素的最大公约数为 x x x 且最小公倍数为 y y y。

两个序列 ( a 1 , a 2 , ⋯   , a n ) (a_1,a_2,\cdots,a_n) (a1,a2,⋯,an) 与 ( b 1 , b 2 , ⋯   , b n ) (b_1,b_2,\cdots,b_n) (b1,b2,⋯,bn) 不同，是指存在至少一个位置 i i i 满足 a i ≠ b i a_i\neq b_i ai=bi。

由于答案可能很大，请输出答案对 998 244 353 998\ 244\ 353 998 244 353 取模后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 Q Q Q 表示询问次数。

接下来 Q Q Q 行，每行包含三个整数 x , y , n x,y,n x,y,n 表示一组询问，相邻整数之间使用一个空格分隔。对于每个询问，保证至少存在一个满足条件的序列。

输出格式

输出 Q Q Q 行，每行包含一个整数，依次表示每个询问的答案。

输入输出样例 #1

输入 #1

复制代码 
3
3 6 2
12 144 3
233 251640 10

输出 #1

复制代码 
2
72
905954656

说明/提示

对于 40 % 40\% 40% 的评测用例， n ≤ 30 n\le 30 n≤30；

对于 70 % 70\% 70% 的评测用例， n ≤ 5000 n\le 5000 n≤5000；

对于所有评测用例， 1 ≤ Q ≤ 100 1\le Q\le 100 1≤Q≤100， 2 ≤ n ≤ 1 0 5 2\le n\le 10^5 2≤n≤105， 1 ≤ x , y ≤ 1 0 9 1\le x,y\le 10^9 1≤x,y≤109。

数论

本题    ⟺    g c d ( a ) = = 1 , l c m ( a ) = z = y / x \iff gcd(a)==1,lcm(a)=z=y/x ⟺gcd(a)==1,lcm(a)=z=y/x

对z进行质因数分解， z = Π p i c i z=\Pi p_i^{c_i} z=Πpici

显然各 p i p_i pi是独立，子方案数相乘便是总方案数。

至少一个数不包括 p i p_i pi否则不互质，枚举 a [ j ] 是第一个不包括质因数 p i 的数 a[j]是第一个不包括质因数p_i的数 a[j]是第一个不包括质因数pi的数

则：
a k , k < j a_k,k<j ak,k<j取值范围[1,c_i]；k>j,取值范围[0,c_i]$不会超限。
c i j ( c i + 1 ) n − j − 1 {c_i}^j(c_i+1)^{n-j-1} cij(ci+1)n−j−1

要扣掉所有 a i a_i ai都不取 c i c_i ci的方案数：
c i − 1 j ( c i ) n − j − 1 {c_i-1}^j(c_i)^{n-j-1} ci−1j(ci)n−j−1
时间复杂度 ：O(nlognlogn)

质因数数量和快速指数幂时间复杂度是logn。

超时，预处理好 c i , c i + 1 c_i,c_i+1 ci,ci+1的幂。时间复杂度：降为O(nlogn)

代码

核心代码

cpp 复制代码 
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};


template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
	C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
	{

	}
	C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {

	}
	C1097Int  operator+(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator-(const C1097Int& o)const
	{
		return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
	}
	C1097Int  operator*(const C1097Int& o)const
	{
		return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
	}
	C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
	{
		m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
		return *this;
	}
	C1097Int  operator/(const C1097Int& o)const
	{
		return *this * o.PowNegative1();
	}
	C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
	{
		*this *= o.PowNegative1();
		return *this;
	}
	bool operator==(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData == o.m_iData;
	}
	bool operator<(const C1097Int& o)const
	{
		return m_iData < o.m_iData;
	}
	C1097Int pow(T2 n)const
	{
		C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
		while (n)
		{
			if (n & 1)
			{
				iRet *= iCur;
			}
			iCur *= iCur;
			n >>= 1;
		}
		return iRet;
	}
	C1097Int PowNegative1()const
	{
		return pow(MOD - 2);
	}
	T1 ToInt()const
	{
		return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
	}
private:
	T1 m_iData = 0;;
};

template<class T = int>
class CUniqueFactorization
{
public:
	CUniqueFactorization(T iPrime, int cnt) {
		m_data.emplace_back(iPrime, cnt);
	}
	CUniqueFactorization(vector<T> primes = {}, vector<int> cnts = {}) {
		for (int i = 0; i < primes.size(); i++) {
			m_data.emplace_back(primes[i], cnts[i]);
		}
	}
	CUniqueFactorization operator+ (const CUniqueFactorization& o)const {
		return Add(o, true);
	}
	CUniqueFactorization Add(const CUniqueFactorization& o, bool bIgornZero = false)const {
		CUniqueFactorization ret;
		int i = 0, j = 0;
		while ((i < m_data.size()) && (j < o.m_data.size())) {
			if (m_data[i].first == o.m_data[j].first) {
				int cnt = m_data[i].second + o.m_data[j].second;
				if ((0 != cnt) || !bIgornZero)
				{
					ret.m_data.emplace_back(m_data[i].first, cnt);
				}
				i++, j++;
			}
			else if (m_data[i].first < o.m_data[j].first) {
				ret.m_data.emplace_back(m_data[i]);
				i++;
			}
			else {
				ret.m_data.emplace_back(o.m_data[j]);
				j++;
			}
		}
		ret.m_data.insert(ret.m_data.end(), m_data.begin() + i, m_data.end());
		ret.m_data.insert(ret.m_data.end(), o.m_data.begin() + j, o.m_data.end());
		return ret;
	}
	CUniqueFactorization negation()const {
		CUniqueFactorization ret;
		ret = *this;
		for (auto& [i, cnt] : ret.m_data) {
			cnt *= -1;
		}
		return ret;
	}
	CUniqueFactorization GetValue(const CUniqueFactorization& o)const {
		CUniqueFactorization ret;
		for (const auto& [pri, cnt] : m_data) {
			ret.m_data.emplace_back(pri, 0);
		}
		return ret + o;
	};
	pair<T, T> Union()const {
		long long ll1 = 1, ll2 = 1;
		for (auto [pri, cnt] : m_data) {
			auto& ll = (cnt >= 0) ? ll1 : ll2;
			for (int j = 0; j < abs(cnt); j++) {
				ll *= pri;
			}//可以用快速指数幂加速
		}
		return { ll1,ll2 };
	}
	vector<pair<T, int>> m_data;
};

class CCreatePrime {
public:
	CCreatePrime(int iMax) :m_isPrime(iMax + 1, true)
	{
		m_isPrime[0] = m_isPrime[1] = false;
		for (int i = 2; i <= iMax; i++)
		{
			if (m_isPrime[i])
			{
				m_vPrime.emplace_back(i);
			}
			for (const auto& n : m_vPrime)
			{
				if ((long long)n * i > iMax) { break; }
				m_isPrime[n * i] = false;
				if (0 == i % n) { break; }
			}
		}
	}
	vector<int> m_vPrime;
	vector<bool> m_isPrime;
};
template<class T = int>
class CUniqueFactorizationFactory {
public:
	CUniqueFactorizationFactory(T iMax) :m_cc(sqrt(iMax) + 2), m_vPrime(m_cc.m_vPrime) {
	}
	CUniqueFactorization<T> Factorization(T x) {
		CUniqueFactorization<T> ret;
		for (const auto& iPre : m_vPrime) {
			int cnt = 0;
			while (0 == x % iPre) {
				cnt++;
				x /= iPre;
			}
			if (cnt > 0) {
				ret.m_data.emplace_back(iPre, cnt);
			}
			if (iPre * iPre > x) { break; }
		}
		if (x > 1) {
			ret.m_data.emplace_back(x, 1);
		}
		return ret;
	}
	const vector<int>& m_vPrime;
protected:
	CCreatePrime m_cc;
};

typedef	C1097Int<998244353> BI;
class Solution {
		public:
			int Ans(int x,int y,int n) {
				BI ans(1);
				const int z = y / x;
				auto  uf = CUniqueFactorizationFactory(z).Factorization(z);
				for (const auto& [p, c] : uf.m_data) {
					BI cur = 0;
					vector<BI> cs(n, 1), c1s(n, 1);
					for (int i = 1; i < n; i++) {
						cs[i] = cs[i - 1] * c;
						c1s[i] = c1s[i - 1] * (c + 1);
					}
					BI c1 = 1, c2 = 1;
					for (int j = 0; j < n; j++) {
						cur += c1* c1s[n - j - 1];
						cur -= c2 * cs[n - j - 1];
						c1 *= c;
						c2 *= (c - 1);
					}
					ans *= cur;
				}
				return ans.ToInt();
			}
		};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	int T,x,y,n;
	cin >> T;
	for (int t = 0; t < T; t++)
	{
		cin >> x >> y >> n ;
#ifdef _DEBUG	
		//printf("N=%d", N);
		//Out(not1, ",not1=");
		//Out(ope, ",ope=");
		//Out(str2, ",str2=");
		//Out(que, ",ope=");
#endif // DEBUG		
		auto res = Solution().Ans(x,y,n);
		cout << res << "\n";
	}
	}

单元测试

cpp 复制代码 
	TEST_METHOD(TestMethod11)
		{			
			auto res = Solution().Ans(3,6,2);
			AssertEx(2, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			auto res = Solution().Ans(12, 144 ,3);
			AssertEx(72, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			auto res = Solution().Ans(233 ,251640 ,10);
			AssertEx(905954656, res);
		}

扩展阅读

我想对大家说的话
工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。
学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作
有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注
闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。
子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛
失败+反思=成功 成功+反思=成功

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771

如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法 用**C++**实现。

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