本期我们将开启一个C++算法中一个重要的部分：动态规划
动态规划是一个与贪心不同的问题，贪心注重于当下的每一步而达到"全局最优"，而动态规划则注重于整体的全局最优。
本篇我们来介绍一下动态规划算法中一个重要的模型------斐波那契数列模型
相关题目代码已经上传至作者的个人gitee：楼田莉子/C++算法学习喜欢请支持一下，谢谢
目录
[动态规划（Dynamic Programming）](#动态规划（Dynamic Programming）)
动态规划（Dynamic Programming）
动态规划是一种用于解决复杂问题的算法设计技术，它通过将问题分解为相互重叠的子问题，并存储子问题的解以避免重复计算，从而有效提高计算效率。动态规划通常适用于具有最优子结构 （即问题的最优解包含其子问题的最优解）和重叠子问题（即子问题会重复出现）性质的问题。
核心思想
- 分治思想：将原问题分解为若干子问题，递归求解子问题。
- 记忆化存储：存储子问题的解，避免重复计算（通常使用数组或哈希表）。
- 自底向上或自顶向下 ：
- 自顶向下（Top-Down）：递归分解问题，结合记忆化（如斐波那契数列的备忘录方法）。
- 自底向上（Bottom-Up）：从最小子问题开始迭代求解，逐步构建更大问题的解（如填表法）。
动态规划步骤
1、状态表示
dp表中表示的含义。
来源：1、题目来源2、经验3、发现重复子
2、状态转移方程
dp[i]=dp[i-1]+......
3、初始化
保证填表的时候不越界
4、填表顺序
为了填写当前状态已经计算过的
1、第N个泰波那契数
算法原理：
初始化dp[0]=0、dp[1]、dp[2]为1
cpp
class Solution {
public:
int tribonacci(int n)
{
//处理边界问题
if(n==0) return 0;
if(n==1||n==2) return 1;
//创建dp表
vector<int>dp(n+1);
//初始化
dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=1;
//填表
for(int i=3;i<=n;i++)
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];
//返回值
return dp[n];
}
};优化：背包问题
滚动数组
cpp
class Solution {
public:
int tribonacci(int n)
{
//优化前
// //处理边界问题
// if(n==0) return 0;
// if(n==1||n==2) return 1;
// //创建dp表
// vector<int>dp(n+1);
// //初始化
// dp[0]=0,dp[1]=1,dp[2]=1;
// //填表
// for(int i=3;i<=n;i++)
// dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3];
// //返回值
// return dp[n];
//优化后
if(n==0) return 0;
if(n==1||n==2) return 1;
int a=0,b=1,c=1,d=0;
for(int i=3;i<=n;i++)
{
d=a+b+c;
a=b;b=c;c=d;
}
return d;
}
};2、三步问题
算法思想：
dp[i]：到i位置有多少种方法
从[i-1]到[i]，为dp[i-1]
从[i-2]到[i]，为dp[i-2]
从[i-3]到[i]，为dp[i-3]
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]+dp[i-3]
dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4
cpp
class Solution {
public:
int waysToStep(int n)
{
const int MOD=1e9+7;
//边界调节处理
// if(n==1||n==2) return n;
// if(n==3) return 4;
// vector<int>dp(n+1);
// dp[1]=1,dp[2]=2,dp[3]=4;
// for(int i=4;i<=n;i++)
// //每次加法都要取模
// dp[i]=((dp[i-1]+dp[i-2])%MOD+dp[i-3])%MOD;
// return dp[n];
//优化后
if(n==1||n==2) return n;
if(n==3) return 4;
int a=1,b=2,c=4,d=0;
for(int i=4;i<=n;i++)
{
d=((a+b)%MOD+c)%MOD;
a=b;b=c;c=d;
}
return d;
}
};3、使用最小的花费爬楼梯
算法思想：
算法一：
dp[i]：到达i位置的最小花费
先到达i-1位置，支付cost[i-1]走一步
先到达i-1位置，支付cost[i-2]走两步
dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2])
算法二：
dp[i]：从i位置触发到达终点的最小花费
dp[i]:
支付cost[i]，向后一步，从i+1位置出发
支付cost[i]，向后两步，从i+2位置出发
dp[i-1]=cost[i-1]；dp[i-2]=cost[i-2]
cpp
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost)
{
//算法一：
// int n=cost.size();
// vector<int>dp(n+1);
// dp[0]=0,dp[1]=0;
// for(int i=2;i<=n;i++)
// dp[i]=min(dp[i-1]+cost[i-1],dp[i-2]+cost[i-2]);
// return dp[n];
//算法二：
int n=cost.size();
vector<int>dp(n+1);
dp[n-1]=cost[n-1];
dp[n-2]=cost[n-2];
for(int i=n-3;i>=0;i--)
dp[i]=cost[i]+min(dp[i+1],dp[i+2]);
return min(dp[0],dp[1]);
}
};4、解码方法
算法思想：
以i为结尾，dp[i]表示以i为结尾的时候解码的总数。
dp[i]:
dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
细节问题：边界情况的处理
1、虚拟节点的值保证后面的填表正确
2、下标的映射关系正确
cpp
class Solution {
public:
int numDecodings(string s)
{
//算法一
// int n=s.size();
// vector<int>dp(n);
// dp[0]=s[0]!='0';
// //处理特殊情况
// if(n==1) return dp[0];
// if(s[0]!='0'&&s[1]!='0') dp[1]+=1;
// int t=(s[0]-'0')*10+s[1]-'0';//前两个位置表示的数
// if(t>=10&&t<=26) dp[1]+=1;
// for(int i=2;i<n;i++)
// {
// if(s[i]!='0') dp[i]+=dp[i-1];//处理单独编码的情况
// int t=(s[i-1]-'0')*10+s[i]-'0';//第二种情况对应的数
// if(t>=10&&t<=26) dp[i]+=dp[i-2];
// }
// return dp[n-1];
//算法二
int n=s.size();
vector<int>dp(n+1);
dp[0]=1;
//s[1-1]
dp[1]=s[0]!='0';
for(int i=2;i<=n;i++)
{
if(s[i-1]!='0') dp[i]+=dp[i-1];//处理单独编码的情况
int t=(s[i-2]-'0')*10+s[i-1]-'0';//第二种情况对应的数
if(t>=10&&t<=26) dp[i]+=dp[i-2];
}
return dp[n];
}
};本期动态规划第一个模型的内容就到这里了，喜欢请点个赞支持一下谢谢