半开区间和开区间的两个二分模版

概念先行（统一记法）

• left，right：区间端点。

• mid = left + (right - left) / 2 或 mid = (left + right) >>> 1（避免溢出）。

• n：数组长度，合法下标是 0 .. n-1。

• two styles：

  • 半开区间 [left, right)：右端点不包含（常用在查找插入位置 / lower_bound / upper_bound）。
  • 闭区间 [left, right]：左右端点都包含（常用在查找是否存在某值并返回下标）。

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一、半开区间（[left, right)）模板 ------ 推荐用于 lower_bound / 插入点

不变量（重要）

目标插入位置始终位于区间 [left, right) 中（右端点不包含）。

结构（Java）

int left = 0, right = n; // right = n -> 表示 [0, n)
while (left < right) {
    int mid = (left + right) >>> 1; // or left + (right-left)/2
    if (A[mid] < target) {
        left = mid + 1;   // 插入位置在右半区: [mid+1, right)
    } else {
        right = mid;      // 插入位置在左半区（包含 mid）: [left, mid)
    }
}
// loop 结束时 left == right，即插入位置
int pos = left;

常见变体

• lower_bound（第一个 >= target） ：上面模板正是 lower_bound。

• upper_bound（第一个 > target） ：

  // 半开区间，right = n
  while (left < right) {
      int mid = (left + right) >>> 1;
      if (A[mid] <= target) left = mid + 1;
      else right = mid;
  }
  pos = left; // 第一个 > target 的下标

优点

• 简洁、不易错的模板（左闭右开避免 mid == right 情况）。
• 自然返回"插入位置"，适合维护 tails 这类需要插入点的场景。

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二、闭区间（[left, right]）模板 ------ 适合查找是否存在且返回下标

不变量（重要）

目标位置始终在 [left, right] 中，循环条件通常是 left <= right。

结构（Java）------ 查找"是否存在并返回任意下标"

int left = 0, right = n - 1;
while (left <= right) {
    int mid = (left + right) >>> 1;
    if (A[mid] == target) return mid;
    else if (A[mid] < target) left = mid + 1;
    else right = mid - 1;
}
// not found -> left is insertion point, right = left - 1

变体：用闭区间实现 lower_bound（第一个 >= target）

int left = 0, right = n - 1;
int pos = n; // 默认插入到末尾
while (left <= right) {
    int mid = (left + right) >>> 1;
    if (A[mid] >= target) {
        pos = mid;      // candidate
        right = mid - 1; // 缩到左半区
    } else {
        left = mid + 1;
    }
}
// pos 是第一个 >= target（可能为 n 表示 append）

注意点（闭区间常见错误）

• 当要把 mid 作为"候选"（A[mid] >= target）时，必须做 right = mid - 1，否则区间不会收缩（会死循环）。
• 初始化 right 要是 n - 1（不是 n）。否则访问 A[mid] 会越界。

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三、对比与选用建议（实用）

• 想要插入位置 / lower_bound / upper_bound -> 用半开区间模板（更简洁、易用）。
• 单纯判断是否存在并返回下标 -> 用闭区间模板（直观）。
• 半开区间：left=0,right=n, while(left<right), right=mid。
• 闭区间：left=0,right=n-1, while(left<=right), right=mid-1（当 mid 作为 candidate 时）。

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四、常见错误 & 排查清单

1. 越界 ：right 设为 n 却用 while(left<=right)，会算出 mid==n → 访问 A[n] 越界。
2. 死循环 ：闭区间写 while(left<=right) 却在候选分支写 right = mid（而非 mid-1）会导致区间不收缩。
3. off-by-one ：不清楚 mid 属于哪半区，更新时要保证区间长度严格减小。
4. mid 溢出 ：用 (left+right)/2 在极端大整数下溢出，改用 left + (right - left)/2 或 >>>1。
5. 空数组 ：在半开区间 right = 0，循环不进，pos=0 正确；闭区间 right = -1，要注意 while(left<=right) 不进并处理返回值。

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五、快速模板汇总（Java）

半开区间 lower_bound（第一个 >= target）：

int left = 0, right = n; // [left, right)
while (left < right) {
    int mid = (left + right) >>> 1;
    if (A[mid] < target) left = mid + 1;
    else right = mid;
}
int pos = left;

半开区间 upper_bound（第一个 > target）：

int left = 0, right = n;
while (left < right) {
    int mid = (left + right) >>> 1;
    if (A[mid] <= target) left = mid + 1;
    else right = mid;
}
int pos = left;

闭区间查找 exact match（是否存在）：

int left = 0, right = n - 1;
while (left <= right) {
    int mid = (left + right) >>> 1;
    if (A[mid] == target) return mid;
    else if (A[mid] < target) left = mid + 1;
    else right = mid - 1;
}
return -1;

闭区间 lower_bound（第一个 >= target）：

int left = 0, right = n - 1;
int pos = n;
while (left <= right) {
    int mid = (left + right) >>> 1;
    if (A[mid] >= target) { pos = mid; right = mid - 1; }
    else left = mid + 1;
}
// pos is first >= target, may be n (not found -> insert at end)

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六、举例演练（半开区间找 lower_bound）

数组 A=[2,3,7,101], n=4, target=18：

• left=0,right=4 -> mid=2(A[2]=7)<18 -> left=3
• left=3,right=4 -> mid=3(A[3]=101)>=18 -> right=3
• left==right==3 -> pos=3（正确，替换 101）