概率空间和随机对象
概率空间
Borel集
样本空间的某些子集组成的一个集合,记作
。若
满足:
称是定义在样本空间
上的
集。
例子：
-
样本空间
:
{1, 2, 3, 4, 5, 6} -
一个
{ Ø, S, {1}, {2, 3, 4, 5, 6} }-
Ø代表空集。 -
S代表整个样本空间。 -
{1}代表一个事件（抛出1点）。 -
{2, 3, 4, 5, 6}代表事件{1}的补集（抛出不是1的点）。
-
验证它是否是Borel事件集：
-
包含全集和空集 ：
S和Ø都在里面。 ✅ -
对补集封闭：
-
{1}的补集是{2,3,4,5,6}，它在集合里。 ✅ -
{2,3,4,5,6}的补集是{1}，它在集合里。 ✅ -
S的补集是Ø，它在集合里。 ✅ -
Ø的补集是S，它在集合里。 ✅
-
-
对可数并封闭：
-
任意取集合里的事件做并集，结果都仍然在这个集合里。
-
例如：
{1} ∪ Ø = {1}✅ -
{1} ∪ {2,3,4,5,6} = S✅ -
{1} ∪ S = S✅ -
...所有可能组合都满足。
-
验证通过，{ Ø, S, {1}, {2, 3, 4, 5, 6} } 是一个合法的Borel事件集。
最小Borel事件集:
-
样本空间
{1, 2, 3, 4, 5, 6} -
{ Ø, S }-
这是最小的Borel事件集，永远成立。
-
只包含必然事件和不可能事件。
-
最大Borel事件集:
-
样本空间
{1, 2, 3, 4, 5, 6} -
P(S)，即-
例如，
{1},{2},{1,2},{1,3,5},{2,4,6}等等，所有64个可能的子集都是这个σ代数的元素。 -
这是最大的Borel事件集。
-
概率集函数
若
，且
则
若
, 则
条件概率的定义
独立性
若,称事件
相互独立。
若
独立性与互斥性
独立表示没有关系，而互斥是一种对立关系，即发生则
不能发生，
对
是有影响的，反之亦然。所以互斥事件一定不独立。独立事件一定不互斥。
全概率公式
在连续条件下的推广：
贝叶斯公式
：后验概率
：先验概率
随机变量
随机对象
当样本空间为一维实数集合时，则称该一维实变量为随机变量。
当样本空间为高维实数空间时，则称该高维实数变量为随机向量。
当样本空间为定义于某个数集上的函数组成，则称该函数集合为随机过程。
概率质量函数
任何一种离散型随机变量都可以统一地用概率质量函数表示。
其他事件的概率通过概率质量函数计算得到
连续型随机变量 不可以用概率质量函数表示
概率生成函数
设随机变量的取值和概率分别为
,则
X的概率生成函数为****
展开生成函数：
求一阶导数：
现在，令 ，所有包含
的项都变为 0：
求 k 阶导数：
z = 0代入：
例子泊松分布
概率生成函数：
用生成函数求概率：
求 ：
得到：
概率分布函数
单调递增，若
，则
右连续，即
概率密度函数
对任意实数
概率特征函数
设
则
例子：
分布函数：
当时：
当 时：
特征函数：
当:
，复指数的模始终为1
当 :
因此：
数字特征
随机变量的某个函数的期望被定义为该随机变量的一个数字特征。设
是随机变量
的一个函数，
的 期 望 定 义 为：
数字特征通常反映了随机变量某个方面的统计特征,如平均取值,离散程度,信息量。
特征函数可以尤其表示：
离散型随机变量的数学期望（均值）定义：
其中是
的可能取值,
连续型随机变量的数学期望定义：
其中 是概率密度函数 (PDF)。
方差（常用符号是
）的计算公式:
这里。
矩
设为一维随机变量，特征函数为
,设
的
阶矩存在，则
推导：
特征函数：
泰勒展开：
与这个泰勒展开进行对比：
泰勒展开具有唯一性：
设是样本空间
的离散型随机变量，若其概率生成函数为
则
,
推导：
离散型随机变量的特征函数：
离散随机变量概率生成函数：
推导：
推导：
作业
2025.9.19
2.5
2.10
四分之一
2.16
