基于物理信息神经网络(PINN)求解二维稳态对流-扩散方程的MATLAB实现

基于物理信息神经网络(PINN)求解二维稳态对流-扩散方程的MATLAB实现。以下是对代码的全面分析:


一、主要功能

  1. 方程求解:求解二维稳态对流-扩散方程:U·∂C/∂x + V·∂C/∂y = D·(∂²C/∂x² + ∂²C/∂y²)
  2. 多源数据融合:同时利用边界条件、测量数据和物理方程约束
  3. 浓度场预测:预测整个计算域内的浓度分布
  4. 物理一致性验证:监控物理残差以确保解满足控制方程

二、逻辑关联

复制代码
参数设置 → 数据生成 → 网络构建 → 训练循环 → 结果可视化
    ↓           ↓           ↓         ↓          ↓
 物理参数   边界/测量/   神经网络   损失计算   浓度场+
          配置点生成   架构定义   梯度更新   残差图

数据流:

  1. 边界数据:强制满足边界条件
  2. 测量数据:提供真实观测值(含噪声)
  3. 配置点:通过物理残差约束内部区域
  4. 网络输出:预测整个区域的浓度场

三、算法步骤

阶段1:数据准备

  1. 生成边界条件点(四边均匀分布)
  2. 生成测量数据点(随机分布+高斯分布真实解+噪声)
  3. 生成配置点(内部随机点,用于物理约束)

阶段2:网络构建

  1. 创建4层全连接神经网络(每层32神经元)
  2. 使用tanh激活函数
  3. 单输出节点(浓度值)

阶段3:训练过程

  1. 前向传播计算预测值
  2. 自动微分计算浓度梯度(一阶和二阶)
  3. 计算数据损失(边界+测量)和物理残差损失
  4. Adam优化器更新网络参数
  5. 定期可视化训练进度

阶段4:结果分析

  1. 绘制预测浓度场
  2. 可视化物理残差分布
  3. 显示流场方向

四、技术路线

技术组件 实现方法
神经网络 多层感知机 + tanh激活
物理嵌入 自动微分计算PDE残差
优化算法 Adam优化器
自动微分 dlgradient高阶导数
数据加权 不同类型点赋予不同权重
可视化 实时训练监控

五、公式原理

控制方程(稳态对流-扩散):

U ∂ C ∂ x + V ∂ C ∂ y = D ( ∂ 2 C ∂ x 2 + ∂ 2 C ∂ y 2 ) U \frac{\partial C}{\partial x} + V \frac{\partial C}{\partial y} = D \left( \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \right) U∂x∂C+V∂y∂C=D(∂x2∂2C+∂y2∂2C)

损失函数组成:

L = L data + L phys \mathcal{L} = \mathcal{L}{\text{data}} + \mathcal{L}{\text{phys}} L=Ldata+Lphys

数据损失
L data = 1 N ∑ i = 1 N w i ( C pred i − C true i ) 2 \mathcal{L}{\text{data}} = \frac{1}{N} \sum{i=1}^{N} w_i (C_{\text{pred}}^i - C_{\text{true}}^i)^2 Ldata=N1i=1∑Nwi(Cpredi−Ctruei)2

物理残差损失
L phys = 1 M ∑ j = 1 M w j [ U ∂ C ∂ x + V ∂ C ∂ y − D ( ∂ 2 C ∂ x 2 + ∂ 2 C ∂ y 2 ) ] 2 \mathcal{L}{\text{phys}} = \frac{1}{M} \sum{j=1}^{M} w_j \left[ U\frac{\partial C}{\partial x} + V\frac{\partial C}{\partial y} - D\left( \frac{\partial^2 C}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 C}{\partial y^2} \right) \right]^2 Lphys=M1j=1∑Mwj[U∂x∂C+V∂y∂C−D(∂x2∂2C+∂y2∂2C)]2


六、参数设定

物理参数:

参数 含义
U 1.0 x方向对流速度
V 0.5 y方向对流速度
D 0.1 扩散系数

网络参数:

参数 含义
numLayers 4 隐藏层数量
numNeurons 32 每层神经元数
激活函数 tanh 非线性变换

训练参数:

参数 含义
numEpochs 2000 训练轮数
learningRate 0.001 学习率
physWeight 1.0 物理损失权重
dataWeight 1.0 数据损失权重

采样参数:

参数 含义
numBCPoints 100 边界条件点数
numDataPoints 50 测量数据点数
numCollPoints 1000 配置点数

七、运行环境

软件要求:

  • MATLAB(推荐R2024b或更新版本)
  • 必要工具箱
    • Deep Learning Toolbox
    • 支持自动微分和dlnetwork的版本

计算特性:

  • 自动微分:使用MATLAB的dlgradient计算高阶导数
  • 批量训练:一次性处理所有训练点
  • 实时可视化:训练过程中动态更新结果

八、应用场景

环境工程:

  • 大气污染物扩散模拟
  • 水体中污染物输运预测

工业应用:

  • 化学反应器内物质分布
  • 通风系统中空气污染物传播

科学研究:

  • 多物理场耦合问题研究
  • 逆向参数识别问题

总结

该代码实现了一个完整的PINN框架用于稳态对流-扩散问题,具有以下特点:

  • 多源信息融合:巧妙结合边界条件、测量数据和物理方程
  • 物理一致性:通过残差损失确保解满足控制方程
  • 鲁棒性:能够处理带噪声的测量数据
  • 可视化完善:提供训练过程监控和结果分析
  • 模块化设计:清晰的函数分离便于修改和扩展

这种方法特别适合数据稀缺但物理规律明确的工程问题,为传统数值方法提供了有力的补充。

完整代码私信回复基于物理信息神经网络(PINN)求解二维稳态对流-扩散方程的MATLAB实现

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