在漫长的数学历史长河当中，诞生了无数美丽的数学公式，它们宛如一颗颗璀璨的明珠，光彩夺目，而只有它被称为上帝公式，它就是欧拉公式。
那我们来看一下它有什么特别之处啊，它的形式是这样的，E 的 ix 次方等于 cos x 加上 I 乘以sinx ，其中 E 是自然常数，I 是虚数，sin ， cos 呢是三角函数。
当 X 等于π的时候啊，公式就变成了 E 的iπ次方等于-1，这个就是欧拉恒等式。
，
这个等式包含了自然常数、虚数、圆周率和自然数，每一个单拿出来啊，在数学史上都是非常炸裂的存在，而欧拉公式竟然以一种极其简洁的形式，轻描淡写般把它们结合了在一起，在以简洁为美的数学世界里啊，难怪他会被称为上帝公式啊。
事实上，与欧拉公式相近的公式，在此之前就已经被发现了啊，其实这也不奇怪，虚数的讲解中也有推导到类似的结果啊。
例如，1707年，法国数学家棣莫弗，就发现了一个这样的公式：
又例如1712年，英国数学家罗杰·科特斯，在研究螺旋线弧长的时候呢，
就得出了一个这样的公式：
这里注意一下啊，ln这个符号呢，是后来欧拉取的啊，是表示自然对数的意思。
在此之前，数学家们呢，都是用别的方法去表示自然对数的啊，这里我为了大家好理解，直接就用了ln。
包括虚数 i 也是后来欧拉给的符号，在此之前呢，虚数都被写作根号-1，我为了方便表达啊，也是直接用了 i。
这个公式呢，可以说是无限接近欧拉公式了，只要两边同时取 E 为底的指数操作就可以了。
不过，科特斯在1716年突然离世，这一结果呢，也从未正式发表过。
接下来，为了说明欧拉公式，我得先讲一下这个自然常数是什么啊。
自然常数e，其实我们在高中的时候呢，就接触过了，他和π一样，也是一个无理数来的，它约等于2.71828。
自然常数又被称为欧拉数，但是欧拉数却不是欧拉发现的。
是雅各布·伯努利，在研究存款复利的时候发现的。
注意一下，这里的伯努利和流体力学的伯努利啊，不是一个，流体力学的是丹尼尔·伯努利啊，他是雅各布的侄子。
这里说明e啊。其实是有两个数学模型可以选的：
一个呢，是一年之内无穷次存取计息啊，伯努利用的就是这个；
第二个呢，就是定期只存取一次啊，但是你可以存无穷多年，不过不同年份的定期啊，就会对应到不同的利率；
因为时间无穷细，这个事情对我来说呢，有点离谱啊，所以我这里用的就是第二个模型------假如银行规定了一个这样的规则，存一年利率就是100%，存两年利率就变成了50%，也就是1/2，存3年利率变为1/3，而存 N 年呢，利率就变成 N 分之一。
复利的意思就是今年的本加息呢，会变成下一年的本啊。
好，那么我们用一个具体的例子来说明啊，我有一块钱，存一年之后，到手就是1+1乘以百分百等于二，存两年，最后到手呢，就是1+2分之一，加上1+2分之1，再乘以1/2的，也就是1+2分之一的二次方等于2.25。
存3年，最后到手的就是1+3分之一的三次方，等于2.37的，以此类推啊，存 N 年一，最后呢，到时候就是一加上 N 分之一的 N 次方。
诶，这个时候我好像发现存的越久，赚的就越多，如果我存无穷多年，那么本息会不会最后就是无穷多呢？？？
不会，它只会无限趋向于2.71828......，甚至呢，都到不了2.72。
我们可以画一个 (1+1/x)^x 的函数图像啊，可以明显看到函数值到了2.71左右啊，就上不去了.
欧拉在他后来的著作中，多次引用到了这个数，并且给了他一个符号------e，所以这个数也被后人叫做欧拉数了。
这个自然常数有什么特别的地方呢，啊，我们来看一下啊，假如有一个指数函数是以e为底的，也就是 Y 等于 E 的 X 次方，我们随便找一个点吧，例如 X 等于二，那它的函数值呢，就是e的平方，在这一个点的导数，也就是切线的斜率，它也是e的平方，函数曲线与 X 轴围成的面积呢，它也还是e的平方。
放眼整个数学界，这个函数的特性啊，也是独一份的啊。
当然，三角函数 sin x 啊，求两次导之后呢，会变成自己的相反数啊，这个特性倒是和 E 的 X 次方啊，有点类似，感觉这两个函数冥冥之中就是有关联的。
当然，对复数领域和三角函数领域，研究颇深的欧拉也是这样认为的。
1748年，欧拉发表了一篇名为无限研究导论的论文，里面就引用了棣莫弗的公式啊。
我们来看一下啊，两式相加除以二，就得到了 cos 的 NX ，两式相减除以2i，就得到了 sin 的 NX 。
，
欧拉大胆地把 X 取了无穷小，于是呢，就有了 sin x 是等价于x的，cos x 呢是等价于1的啊。
那么式子呢，就变成了这样。
然后再取 N 为无穷大，令到 nx 等于 K 啊，那么就有 X 呢，是等于 K 除以 N 的，最终的式子呢，又变成了这样。
，
诶，大家看，这不就是我们刚刚讲过复利的计算形式吗。
加号坐边其实是E 的ik次方，而这个呢，就是 E 的-ik次方，所以最后cosk和 sink呢，就变成了这样。
，
哎，我们看这两个式子，拿二式乘以 I 再加上一式，于是乎我们就得到了，欧拉公式的最终形式。
之前讲虚数的时候就有提到过，cosx+isinx可以在复平面上表示旋转，所以呢， E 的 IK 次方也是一样的。
举个例子，5×e的iπ/3次方，这个数表示了复平面上五为半径，逆时针旋转了60度所在的位置啊。
又例如一个复数，1+i化成复指数，形式是怎样的呢？
在复平面上画出来一加 I 的点在这，它的半径就是根号二，旋过的角度刚刚好是45度，也就是四分之派。
用三角函数表示呢，就是根号二乘以 cosπ/4，加上 I 乘以 sinπ/4，也就是根号2×e^iπ/4。
好，至此，欧拉公式就跟三角函数和旋转，关联了到一起了。
你想想啊，傅里叶级数还得用 sin 和 cos 两种函数，做基底去分解，如果用e^iθ去做基底的话呢，一个就够了。
【结论】
- 傅里叶变换（级数）的三角形式到复指数形式的转变；c + s → e^iωt
- 傅里叶变换到拉普拉斯变换的转变；σ + iω = s
都有的重要的动因：
- 书写量更少；
- 运算规则更简单；