傅里叶分析体系的理解

前言

1.傅里叶分析的基础

1.1函数的正交

1.2三角函数集的正交性

1.3复指数函数的正交性

2.傅里叶分析的类型

[2.1连续周期信号 → 傅里叶级数 (FS)](#2.1连续周期信号 → 傅里叶级数 (FS))

[2.2连续非周期信号 → 傅里叶变换 (FT)](#2.2连续非周期信号 → 傅里叶变换 (FT))

[2.3离散周期信号 → 离散傅里叶级数 (DFS)](#2.3离散周期信号 → 离散傅里叶级数 (DFS))

[2.4离散非周期信号 → 离散时间傅里叶变换 (DTFT)](#2.4离散非周期信号 → 离散时间傅里叶变换 (DTFT))

[3.1 FFT的来源](#3.1 FFT的来源)

[3.2 基2-FFT的蝶形运算](#3.2 基2-FFT的蝶形运算)

4.短时傅里叶变换（STFT）

5.参考资料

前言

傅里叶分析实际是信号合成与分解的一种方式，正变换是将时域的信号分解到频域的各个频率上面，逆变换就是将频域上的各个频点的幅值合成时域的信号。常用的有两种类型的分解，一种是三角函数集，这是单边谱，另一种是复指数集，这是双边谱。借用大佬的图，很直观地看到这种分解与合成的关系。

1.傅里叶分析的基础

1.1函数的正交

在数学中，如果两个函数内积为零，则这两个函数 f(x) 和 g(x)称为正交的。

内积公式如下：

，

函数 f(x) 和 g(x)在区间 [t0,t1]上是正交的。

1.2三角函数集的正交性

三角函数集{1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, ..., cosnx, sinnx}内的函数在区间[-π, π]上彼此正交，即其中任意两个不同的函数在区间[-π, π]上的内积为0。证明如下：

要证明对于任意两个不同的函数 f(x) 和 g(x)，它们的内积在区间 [−π,π] 上为零，即：

首先证明常数函数和正弦余弦函数的内积为零：

对于常数函数 f(x)=1和任意的正弦余弦函数 g(x)=cos⁡(kx)或 g(x)=sin⁡(kx)，其内积为

这可以由g(x)的图像得到，因为当时，最大周期是，,内积区间刚好在一个周期内，图像面积累加刚好为0，当k为其他值时，是g(x)周期的整数倍，所以图像面积累加之和还是0。

然后再证明正弦函数和余弦函数不同函数之间的内积为零，相同不为0：

对于任意的 m,n∈Z，有

当m=n时

，对于任何成立。

所以有：

同理可证：

综上所述，对于任意 m,n∈Z，不同的函数 f(x)和 g(x)的内积都为零，证明了在区间 [−π,π]上，三角函数集是正交的。

有了三角函数集的正交性，就可以理解周期信号傅里叶级数了，将信号投影到每一个正交基上。

1.3复指数函数的正交性

复指数函数集

中的函数在区间上彼此正交，即集合中任意两个不同的函数在该区间上的内积为零。

证明如下：

设：

定义内积为：

这里需要注意的是复数内积需要其中一个改变符号，正改负，负改正。所以会有复数本身的内积等于该复数与其共轭复数相乘。

当时，有：

利用欧拉公式，可得：

因为，则有：

因此：

即不同的复指数函数在区间上正交。

相同的函数内积不为 0

当时，有：

因此：

所以有集合中任意两个不同的函数在该区间上的内积为零。

同时需要记住函数的内积是在区间内积分的形式。

2.傅里叶分析的类型

傅里叶分析主要根据信号的时域特性（连续/离散、周期/非周期）分为四种基本类型：

连续周期信号 → 傅里叶级数 (FS)：将周期信号分解为离散频率的指数函数之和。
连续非周期信号 → 傅里叶变换 (FT)：得到连续谱，揭示信号的频率密度分布。
离散周期信号 → 离散傅里叶级数 (DFS)：在频域上也是离散且周期的。
离散非周期信号 → 离散时间傅里叶变换 (DTFT)：得到以2π为周期的连续频谱。

2.1连续周期信号 → 傅里叶级数 (FS)

周期信号f(t) ，其周期为T（模拟频率为,也称为基频），当满足狄里赫利条件(能量有限且绝对可积)时，它可以分解为如下三角级数，该三角级数称为傅里叶级数。

其几何意义是周期信号可以投影到三角函数正交基上，其系数是信号在对应频率的基上的坐标，代表该频率的分量的强度。

一般形式：

其中，，

, 。（这里积分上下限之所以是一个周期，是因为该信号是周期函数，只需要考虑一个周期内的变化即可，其他区间是一样的）

这里的系数就是由投影到各个频率的三角函数上得到的，以为例子：

利用辅助角公式：

可以将上面的形式进一步化简：

这样子表示的是单边谱,是幅度谱，是相位。

可以转换为复指数形式，这样子信号就分解在复指数上面了，即投影在复指数上面。利用公式：

转换为：

其中，负频率代表旋转方向，相位部分移到了,

这样子就可以将余弦信号的单边谱，变为复指数形式的双边谱。双边谱具有幅度谱偶对称，幅值减半；相位谱奇对称的特点。其中,就是在该复指数上的投影值。

2.2连续非周期信号 → 傅里叶变换 (FT)

正变换的推导：

非周期信号可以理解为周期为无穷大的周期信号。根据傅里叶级数，周期信号可以投影到不同频率的分量:

其中，是基本频率。当周期时，基本频率，此时也会趋向于 0，傅里叶级数的频率分量趋于连续频率。但是这样子的话对应的值将趋于 0，表示在这些低频区域信号的贡献逐渐消失，意味着没有实际的意义。

所以会定义了频谱密度：

逆变换的推导：

同理，将非周期信号理解为周期为无穷大的周期信号。根据傅里叶级数，周期信号可以写成不同频率分量线性组合的形式：

当时，，此时，可以写成（离散的自变量变为连续），可以写成，累加运算变为积分。

因此，连续时间非周期信号可以写成：

这是非周期信号的傅里叶逆变换。

所以傅里叶变换公式如下：

正变换：，将信号分解到整个连续的频域上

逆变换：，对整个频域的信息进行重组恢复出原信号

上面两个公式只需要记住他的意义就很容易记住这两个公式。正变换是频率分量上的投影，复数内积的符号变负，所以是,但是因为直接投影太小了，没意义，所以会多乘一个变成了频谱密度,这样就和公式的抵消，变成现在的样子。逆变换是投影分量乘以复指数分量，而和是有公式推导出来的，因为是连续谱，所以是积分形式。

常用性质

在实际数字处理中常用到以下这些性质：

（1）时间与频率的尺度变换

若，则有：

其中，为时间的缩放因子。当时，信号在时间轴上被压缩，信号的频率变大，频率上被拉伸；当时，信号在时间轴上被拉伸，信号频率变小，频率上被压缩。

（2）时移性质

若，则有：

信号在时间上的移位，并不改变它的傅里叶变换的模长，即不会影响原来的频率分量，只是在变换中引入相移，且相移与频率成线性关系，对于频率越高的分量，移位越多。这个性质说明了信号延迟和信号提前都不会改变频率的幅度，只会改变频率的相位。

（3）卷积性质

若：，，则：

即时域上的卷积对应频域上的乘法，该性质是系统对信号响应的核心。

（4）乘法性质

若：，，则：

时域上的乘法对应频域上的卷积，该性质是信号调制的基础。

举个例子，波长，发射信号的天线尺寸与信号波长成正比，波长越大，天线尺寸越大减小天线尺寸，需要提高信号频率，将低频信号调制到高频，再发送。高频信号也称载波信号。调制信号公式如下：

除了信号调制之后，常用的加窗也是这个性质。

2.3离散周期信号 → 离散傅里叶级数 (DFS)

定义：对于离散时间周期信号，其周期为（数字角频率为），根据傅里叶级数的原理，信号可以表示为一系列离散时间单位圆上复指数信号的线性组合，即：

其中，是复指数信号的系数,其表达式为：

，

是数字角频率，是周期，n是节拍，并且只涵盖一个周期。实际上，起点并不一定是零，只要能够涵盖一个周期即可，例如：的范围可以是，这是因为对于信号，其周期性保证了的选择在一个周期内是等效的。

因为，所以

当=0~时，是由0~的;

当时，=，而且，是周期性的，所以离散周期信号的频率谱是离散的，周期的。

2025-11-24-lhw:补充从连续到离散的过程

根据奈奎斯特采样定理（Nyquist-Shannon Sampling Theorem），为了从连续傅里叶变换（CFT）获得离散傅里叶变换（DFT），采样频率必须至少为信号频率的两倍，即：

其中是信号的最高频率。

在这种条件下，离散傅里叶变换就是对连续傅里叶变换在离散频率点的近似。具体地，离散频率是：

这意味着将连续信号的频域上每个频率间隔离散化为个点，形成一个周期性的频谱。而周期的范围是,即整个频率带宽是fs，所以会有基波频率。基波频率，也叫频率分辨率的概念，就是如果我们按照的采样频率去采集一个信号，一共采集 N 个点，那么基波频率（频率分辨率）就是。这样，第 n 个点对应信号频率为：；其中 n≥1，当 n=1 时为直流分量。(需要注意的是频率是不需要考虑的，角频率才需要考虑，)

2.4离散非周期信号 → 离散时间傅里叶变换 (DTFT)

推导的方式和连续非周期信号的相似。

DTFT的本质：能量有限或绝对可和的离散时间非周期信号可以分解到覆盖范围为 0, 2𝜋 的连续频域的单位圆复指数序列上。

正变换推导：

将离散时间非周期信号看作周期为的周期信号。根据离散时间傅里叶级数，周期信号可以投影到个不同频率的分量上：

当时，，此时，可以写成（频域变得连续）。然而，，这表示傅里叶级数的结果在这里没有明确的物理意义。

同样地，可以定义频谱密度:

对于离散时间非周期信号的傅里叶变换，变换结果通常是周期性的，周期为。根本原因是，当取大于时，会重复。

离散傅里叶变换（DFT）将信号投影到一个周期性的频率轴上，而周期性是由离散时间信号的周期性所固有的。究其原因，傅里叶变换的周期性特性来自于离散信号的周期性，导致频域上变得周期化。傅里叶级数在连续信号中对应于一个周期性的频域，而在离散信号中，这个频域成为了一个周期为的离散频域。

逆变换的推导：

同理，将非周期信号理解为周期为无穷大的周期信号。根据离散傅里叶级数，周期信号可以写成不同频率分量线性组合的形式：

当时，，此时，可以写成（离散的自变量变为连续），可以写成，累加运算变为积分。

因此，离散时间非周期信号可以写成：

这是非周期信号的傅里叶逆变换。

所以对于离散信号来说，频谱上是周期延拓的，只需要对一个周期内的频域线性组合即可。需要注意的是离散时间矩形信号频谱密度：

$0,2𝜋\]为基本周期延拓；$
0，2𝜋附近为低频分量；
-𝜋，𝜋附近为高频分量

常用的性质

（1）周期性

（2）卷积性质

若：，，则：

即时域上的卷积对应频域上的乘法。

（3）乘法性质

若：，，则：

即时域上的乘积对应频域上的卷积，其中N表示N点卷积。

3.快速傅里叶变换（FFT）

3.1 FFT的来源

传感器的信号是数字信号，所以无法进行连续时间的傅里叶变换；离散时间傅里叶变换针对长度为无穷长的信号，其得到的频谱是连续的，与实际信号的情况也不一致；离散时间傅里叶级数针对离散的信号，频谱的结果也是离散的，最有可能由计算机实现，但其针对周期信号。实际上，计算机采用"离散傅里叶变换（DFT）"对信号开展分析---基本原理：将采集到的信号（信号长度为看成周期为的离散时间周期信号，并计算其DTFS。

所以有离散傅里叶变换（DFT）的出现：对于长度为的信号，将其看成周期为的周期信号（这种做法是合理，结果会有误差，但不影响分析），其公式为：

正变换：

逆变换：
其物理含义为：将信号分解为一系列简单的复指数序列（，，，...,）.

DFT的计算量：N个点直接计算DFT的总运算量为： 次复数乘法， 次复数加法。分析1024个点的序列，需要进行百万次的复乘,消耗的资源比较多。
因此有了快速傅里叶的诞生。FFT是其中一种常用的方法。它是 快速实现DFT的一种算法，有效降低了计算量。
FFT简单的理解就是2分法，因为将N个点分为两组个点计算，仅需要次复数乘法，相当于减少一半，依次类推，FFT复数乘法运算量 ,两者对比：

3.2 基2-FFT的蝶形运算

给定长度为的离散序列，其离散傅里叶变换（DFT）定义为：

引入旋转因子，定义为：，所以

将原始序列分解为偶数子序列和奇数子序列：

然后利用的可约性：

如果将原来的数据分为两组运算就会变成这样子的：

（用的也是可约性）

其中：是由构成的偶数索引子序列的 DFT; 是由构成的奇数索引子序列的 DFT;

用AI举个例子：

从这个例子也可以看出FFT的运算原理：

递归分解：大DFT不断拆分成小DFT，直到最基本的2点DFT（只分但是先不进行运算，知道2点再往回运算）

奇偶分组：每次分解都按照序列索引的奇偶性进行分组

蝶形组合：分解后的小DFT结果通过蝶形运算（加减和旋转因子乘法）组合成大的DFT结果

计算复杂度：直接从O(N²)降到O(N log₂N)