【三维重建-对极几何】极线约束(Epipolar Constraint)

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极线约束(Epipolar Constraint)总结

一、基本定义

极线约束(Epipolar Constraint) 描述了两幅图像中对应点之间的几何关系。

对于两台相机拍摄的同一个三维点 P P P,它在两张图像中的投影 p p p 与 p ′ p' p′ 满足以下关系:

p ′ T F p = 0 p'^{\mathsf{T}} F p = 0 p′TFp=0

其中, F F F 是两幅图像之间的 基础矩阵(Fundamental Matrix)


二、几何直观

  • 两个相机中心 O 1 O_1 O1 与 O 2 O_2 O2 以及三维点 P P P 构成一个 极平面(Epipolar Plane)

  • 该平面与两幅图像平面相交,形成两条直线:

    • 左图的极线 l l l
    • 右图的极线 l ′ l' l′

因此,当一个点 p p p 在左图中确定后,它在右图中的对应点 p ′ p' p′ 一定落在对应的极线 l ′ l' l′ 上。


三、核心数学关系

1. 极线方程

l ′ = F p l' = F p l′=Fp

表示:左图中点 p p p 在右图像中的极线。

2. 点在极线上的条件

若点 p ′ = [ x ′ , , y ′ , , 1 ] T p' = [x',, y',, 1]^{\mathsf{T}} p′=[x′,,y′,,1]T 位于直线 l ′ = [ a , , b , , c ] T l' = [a,, b,, c]^{\mathsf{T}} l′=[a,,b,,c]T 上,则有:

a x ′ + b y ′ + c = 0 a x' + b y' + c = 0 ax′+by′+c=0

代入极线方程即可得到:

p ′ T F p = 0 p'^{\mathsf{T}} F p = 0 p′TFp=0

这就是极线约束的代数表达式。


四、基础矩阵 F F F

基础矩阵 F ∈ R 3 × 3 F \in \mathbb{R}^{3 \times 3} F∈R3×3 编码了两幅图像之间的几何关系(旋转和平移):

F = K ′ − T , [ t ] × , R , K − 1 F = K'^{-\mathsf{T}} ,[t]_{\times}, R, K^{-1} F=K′−T,[t]×,R,K−1

其中:

  • K , , K ′ K,, K' K,,K′:两相机的内参矩阵
  • R , , t R,, t R,,t:相机 2 相对于相机 1 的外参
  • t \] × \[t\]_{\\times} \[t\]×:平移向量 t t t 的反对称矩阵:


五、几何要素总结

概念 符号 含义
极点 e , , e ′ e,, e' e,,e′ 另一相机光心在当前图像中的投影位置
极线 l , , l ′ l,, l' l,,l′ 极平面与图像平面的交线
极平面 --- 由两相机光心与空间点 P P P 构成的平面
基础矩阵 F F F 将一图像中的点映射为另一图像中的极线
极线约束 p ′ T F p = 0 p'^{\mathsf{T}} F p = 0 p′TFp=0 对应点必须位于极线上

六、特殊情况:立体校正(Rectified Stereo)

当两台相机光轴平行、仅沿 X X X 轴平移时:

  • 极线为 水平线
  • 匹配搜索可简化为同一行内的水平搜索

这就是 极线校正(Epipolar Rectification) 的几何目的。


七、在 MVS / SfM 中的作用

应用场景 作用
SfM(Structure from Motion) 估计基础矩阵,恢复相机姿态
MVS(Multi-View Stereo) 用极线约束限制匹配搜索范围(由二维降为一维)
双目立体匹配(Stereo Matching) 通过极线约束简化代价计算与匹配搜索

八、核心意义总结

项目 说明
公式 p ′ T F p = 0 p'^{\mathsf{T}} F p = 0 p′TFp=0
含义 两幅图像的匹配点必须位于同一极平面上
几何本质 三维点、两相机中心共面
代数意义 点 p ′ p' p′ 在极线 F p F p Fp 上
结果 搜索空间由二维降为一维,计算效率显著提升

九、直观类比

几何对象 类比
极线方程 l ′ = F p l' = F p l′=Fp 像"影子"一样投射到另一张图
极线约束 p ′ T F p = 0 p'^{\mathsf{T}} F p = 0 p′TFp=0 表示"点在影子线上"
基础矩阵 F F F 连接两张图像的几何变换关系

十、总结一句话

极线约束 = 对应点共面约束。

它让我们不用在整幅图中搜索对应点,只需在一条极线上搜索,

是多视图几何与三维重建的几何基础。

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