平衡二叉树
导读
大家好，很高兴又和大家见面啦！！！
在上一篇内容中，我们深入探讨了二叉排序树（），了解了它如何通过 "左子树 < 根结点 < 右子树 " 的简单规则实现动态集合的高效查找、插入和删除 。其查询性能理想情况下可以达到优秀的 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。
然而，我们也留下了一个关键的悬念：当插入的序列接近有序时 ，二叉排序树会退化成一条"链" ，搜索性能会急剧下降至 O ( n ) O(n) O(n)，这与线性表无异，完全丧失了树形结构的优势。
1 2 3 5 6 7 4 1 NULL 2 NULL 3 NULL 4 NULL 5 NULL 6 NULL 7 NULL NULL
那么，我们能否创造一种能够"自我约束 "、始终保持良好身材的二叉排序树呢？答案是肯定的！
今天，我们就来揭开平衡二叉树（） 的神秘面纱。它正是为了解决 的"退化"问题而诞生的。 在 的基础上增加了一条简单的"军规"：
- 任意结点的左右子树高度差不能超过 1 1 1。
这条规则看似简单，却蕴含着巨大的能量，它能确保整棵树始终维持着"完美"或"接近完美"的平衡，从而将最坏情况下的时间复杂度牢牢锁定在 O ( log n ) O(\log n) O(logn)。
在本篇中，我们将一起学习：
- 是如何通过平衡因子来监控自身平衡状态的。
- 理解"最小不平衡子树" 这一关键概念，它是我们进行修复的精确目标。
- 初步认识当平衡被打破时， 赖以维持平衡的四大"旋转"秘籍 （LL, RR, LR, RL）。
现在，就让我们正式开始，探索这种兼具 的灵活性与稳定高效查询性能的优雅数据结构吧！
一、基本定义
为了避免树的高度增长过快，降低二叉排序树的性能，规定在插入和删除结点时，要保证任意结点的左、右子树高度差的绝对值不超过1，将这样的二叉树称为平衡二叉树 （Balanced Binary Tree ），也称 。
：这个名字的全称为：Adelson-Velsky and Landis Tree (/ˈædəlsən ˈvelski ənd ˈlændɪs triː/)。G.M. Adelson-Velsky 和 E.M. Landis 这两位发明者于1962年的论文中提出该数据结构，因此该数据结构也由这两位提出者的名字命名。
定义结点左子树与右子树的高度差为该结点的平衡因子 ，则二叉树结点的平衡因子的值只可能是 − 1 、 0 、 1 -1、0、1 −1、0、1 这三个值中的一种。
因此平衡二叉树可定义为一棵空树，或是具有以下性质的二叉树：
- 左子树与右子树均为平衡二叉树
- 左子树与右子树的高度差的绝对值不超过1
若我们将各结点的平衡因子存储在各结点中，那么二叉树是否平衡可以体现为以下情况：
- 平衡二叉树
a
1 b
-1 c
1 d
0 e
1 f
0 NULL g
0 NULL
在上述的这棵二叉树中，总共7个结点：
- 结点a：
- 左子树高度为 3 3 3
- 右子树高度为 2 2 2
- 平衡因子：左子树 - 右子树 = 3 − 2 = 1 3 - 2 = 1 3−2=1
- 结点b：
- 左子树高度为 1 1 1
- 右子树高度为 2 2 2
- 平衡因子：左子树 - 右子树 = 1 − 2 = − 1 1 - 2 = -1 1−2=−1
- 结点d：
- 左子树高度为 0 0 0
- 右子树高度为 0 0 0
- 平衡因子：左子树 - 右子树 = 0 − 0 = 0 0 - 0 = 0 0−0=0
可以看到，这棵二叉树的任意一棵子树均为平衡二叉树，且其左右子树的高度差的绝对值也不超过1，因此这棵树为一棵平衡二叉树
- 不平衡二叉树
a
2 b
-1 c
0 d
0 e
0 f
0 g
0
在上述这棵二叉树中，同样有7个结点
- 结点a：
- 左子树高度为： 3 3 3
- 右子树高度为： 1 1 1
- 平衡因子：左子树 - 右子树 = 3 − 1 = 2 3 - 1 = 2 3−1=2
- 结点b：
- 左子树高度为： 1 1 1
- 右子树高度为： 2 2 2
- 平衡因子：左子树 - 右子树 = 1 − 2 = − 1 1 - 2 = -1 1−2=−1
- 结点e:
- 左子树高度为： 1 1 1
- 右子树高度为： 1 1 1
- 平衡因子：左子树 - 右子树 = 1 − 1 = 0 1 - 1 = 0 1−1=0
可以看到虽然该棵树的左右子树均为平衡二叉树，但是其左右子树的高度差的绝对值却大于1，因此该棵树不是一棵平衡二叉树
二、 的插入
二叉排序树保证平衡的基本思想如下：
- 每当在二叉排序树中插入（或删除）一个结点时，首先检查其插入路径上的结点是否因此次操作而导致了不平衡。
- 若导致了不平衡，则先找到插入路径上离插入结点最近的平衡因子的绝对值大于1的结点
a - 再对以结点
a为根的子树，在保持二叉排序树特性的前提下，调整各个结点的位置关系，使其重新达到平衡
下面我们通过一个实例来理解该保持平衡的思想；
27
-1 16
0 75
1 38
0 NULL
在上述这棵 中，第一行是结点中存储的关键字的值，第二行是该结点所在的子树对应的平衡因子。
接下来我们需要在树中插入一个元素： 51 51 51 。根据二叉排序树的插入规则，我们会得到下面这棵 ：
27
-2 16
0 75
2 38
-1 NULL NULL 51
0
可以看到，此时的 中，有两棵子树的平衡因子的绝对值大于 1 1 1 ，其对应的子树分别为：
- 关键字： 27 27 27 为根结点的子树
27
-2 16
0 75
2 38
-1 NULL NULL 51
0
- 关键字： 75 75 75 为根结点的子树
75
2 38
-1 NULL NULL 51
0
按照二叉排序树保证平衡的基本思想，我们需要找到 离插入结点最近的不平衡子树 （最小不平衡子树 ），也就是上图中以 75 75 75 为根结点的子树；再通过调整该子树中的结点位置，来使其重新达到平衡（具体的调整过程这里我们不展开说明，我们现在只关心最后的调整结果）：
75
0 38
0 51
0
上图所示的这棵子树就是我们说的 最小不平衡子树。
当我们完成对该子树的调整后，整棵二叉排序树就被调整为了下面这棵新的 ：
27
-1 16
0 75
0 38
0 51
0
可以看到，此时的 又恢复成了一棵 。
PS: 像这种能够将自身自动调整为 的 我们也将其称为 自平衡二叉排序树 (Self-Balancing Binary Search Tree , SBBST)
在 的插入过程中，从空树开始，前半部分的插入与 的插入过程一致，都是通过 左子树 < 根结点 < 右子树 的规则进行新结点的插入。
这里有不太清楚的朋友可以回顾上一篇内容：【数据结构】考研数据结构核心考点：二叉排序树()全方位详解与代码实现 这里我就不再继续展开赘述。
当出现了某个结点插入后，导致整棵树失去平衡时，则需要做出相应的调整。具体的调整规则可以归纳为以下4种：
- LL平衡旋转------最小不平衡子树的根结点的左孩子向右旋转1次
- RR平衡旋转------最小不平衡子树的根结点的右孩子向左选择1次
- LR平衡旋转------最小不平衡子树的根结点的左孩子的右孩子先向左选择1次，再向右旋转1次
- RL平衡旋转------最小不平衡子树的根结点的右孩子的左孩子先向右旋转1次，再向左选择1次
具体我们应该如何判断失衡的 是属于那种调整规则？并且在不同的规则下我们又应该如何调整呢？具体内容，我们将会在下一篇章中详细介绍。
结语
今天的内容到这里就全部结束了。我们来简单回顾一下本次的核心旅程：
我们从一个关键问题出发------普通的二叉排序树 () 在极端情况下会退化成链表，导致性能骤降。
而 ，正是为了解决这一痛点而生的优雅解决方案。它通过引入 平衡因子 这一精妙的"仪表盘"，并立下"左右子树高度差绝对值不超过1 "的铁律 ，成功地实现了自我约束。
我们深入理解了：
-
基本定义：明确了是带有平衡约束的二叉排序树。
-
核心思想：掌握了插入结点后，如何通过寻找 最小不平衡子树 来定位问题根源。
-
解决框架：认识了让 具体的调整过程这里我们不展开说明，我们现在只关心最后的调整结果 恢复平衡的四大 "秘籍 "------LL, RR, LR, RL 旋转。
然而，故事才刚刚开始！我们知道了有四大 "武功秘籍 "可以"拨乱反正 "，但最关键的一步还悬而未决：
- 面对一棵刚刚失衡的AVL树，我们究竟该如何一眼诊断出它属于哪种失衡类型？
- 每一种旋转的具体操作步骤又是怎样的？
这些看似复杂的旋转操作，背后其实隐藏着一条可以轻松驾驭的、统一的逻辑链。 掌握了它，你就能在眨眼间判断出应对策略。
这一切的答案，以及完整的代码实现，都将在下一篇内容中为你彻底揭晓！
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感谢各位的支持，我们下一篇，不见不散！
*[BST]: Binary Search Tree，二叉搜索树/二叉排序树
*[AVL树]: Adelson-Velsky and Landis Tree，自平衡二叉排序树