【C++】AVL树实现

HY小海2025-10-17 23:05

1. AVL的概念

  • AVL树是最先发明的自平衡二叉查找树，AVL是一颗空树，或者具备下列性质的二叉搜索树：它的 左右子树都是AVL树，且左右子树的高度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗高度平衡搜索二叉树， 通过控制高度差去控制平衡。
  • AVL树实现这里我们引入一个平衡因子(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因子，任何 结点的平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因子等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因子可以更方便我们去进行观察和控制树是否平衡， 就像⼀个风向标⼀样。
  • 思考⼀下为什么AVL树是高度平衡搜索二叉树，要求高度差不超过1，而不是高度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，而是有些情况是做不到高度差是0的。比如一棵树是2个结点，4个结点等情况下，高度差最好就是1，无法做到高度差是0
  • AVL树整体结点数量和分布和完全二叉树类似，高度可以控制在，那么增删查改的效率也可以控制在，相比二叉搜索树有了本质的提升。

2. AVL树的实现

2.1 AVL树的结构

cpp 复制代码 
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到 
	pair<K, V> _kv;
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;
	int _bf; // balance factor
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{
	}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	//...
private:
	Node* _root = nullptr;
};

2.2 AVL树的插入

2.2.1 AVL树插入一个值的大概过程
  1. 插入一个值按二叉搜索树规则进行插入
  2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的高度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因子，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因子，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停止了，具体情况我们下面再详细分析
  3. 更新平衡因子过程中没有出现问题，则插入结束
  4. 更新平衡因子过程中出现不平衡，对不平衡子树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了子树 的高度，不会再影响上一层，所以插入结束。
2.2.2 平衡因子更新

更新原则：

  • 平衡因子 = 右子树高度-左子树高度

  • 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。

  • 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右子树，parent的平衡因子++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子--

  • parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新
    更新停止条件：

  • 更新后parent的平衡因子等于0 ，更新中parent的平衡因子变化为-1->0 或者 1->0，说明更新前parent子树一边高一边低，新增的结点插入在低的那边，插入后parent所在的子树高度不变 ，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。

  • 更新后parent的平衡因子等于1 或 -1 ，更新前更新中parent的平衡因子变化为0->1 或者 0->-1，说明更新前parent子树两边一样高，新增的插入结点后，parent所在的子树一边高一边低，parent所在的子树符合平衡要求，但是高度增加了1，会影响parent的父亲结点的平衡因子，所以要继续向上更新。

  • 更新后parent的平衡因子等于2 或 -2 ，更新前更新中parent的平衡因子变化为1->2 或者 -1->-2，说 明更新前parent子树一边高一边低，新增的插入结点在高的那边，parent所在的子树高的那边更高了，破坏了平衡，parent所在的子树不符合平衡要求，需要旋转处理 ，旋转的目标有两个：（1）把 parent子树旋转平衡。（2）降低parent子树的高度，恢复到插入结点以前的高度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插入结束。

  • 不断更新，更新到根，跟的平衡因子是 1 或 -1 也停止了。

cpp 复制代码 
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	cur->_parent = parent;
	// 更新平衡因⼦ 
	while (parent)
	{
		// 更新平衡因⼦ 
		if (cur == parent->_left)
			parent->_bf--;
		else
			parent->_bf++;
		if (parent->_bf == 0)
		{
			// 更新结束 
			break;
		}
		else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
		{
			// 继续往上更新 
			cur = parent;
			parent = parent->_parent;
		}
		else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
		{
			// 不平衡了，旋转处理 
			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
	return true;
}

2.3 旋转

2.3.1 旋转的原则
  1. 保持搜索树的规则
  2. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的⾼度

旋转总共分为四种，左单旋/右单旋/左右双旋/右左双旋。

说明：下面的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这里是为了方便讲解，实际中是什 么值都可以，只要大小关系符合搜索树的性质即可。

2.3.2 右单旋

本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/ 图5进行了详细描述。

在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从-1变成-2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太高了，需要 往右边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核心步骤，因为5<b子树的值<10,将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原 则。如果插入之前10整棵树的一个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

图一

图二

图三

图四

图五

2.3.3 右单旋代码实现
cpp 复制代码 
void RotateR(Node* parent)
{
    //存储指针
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
    
    //保存parent的父节点
	Node* parentParent = parent->_parent;
    
    //旋转
	parent->_left = subLR;
	if (subLR != nullptr)
		subLR->_parent = parent;

	subL->_right = parent;
	parent->_parent = subL;

    //判断旋转后，是不是根节点
	if (parent == _root)
	{
		_root = subL;
		subL->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parentParent->_left == parent)
		{
			parentParent->_left = subL;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subL;
		}
		subL->_parent = parentParent;
	}
	parent->_bf = subL->_bf = 0;
}
2.3.4 左单旋

本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要 求。10可能是整棵树的根，也可能是一个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是高度为h的子树， 是一种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上⾯左旋类 似。

在a子树中插入一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平 衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往 左边旋转，控制两棵树的平衡。

旋转核步步骤，因为10<b子树的值<15，将b变成10的右子树，10变成15的左子树，15变成这棵 树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转 原则。如果插入之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上一层，插入结束了。

图六

2.3.5 左单旋代码实现
cpp 复制代码 
void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	Node* parentParent = parent->_parent;

	parent->_right = subRL;
	if(subRL)
	subRL->_parent = parent;

	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	if (parent == _root)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (parentParent->_left == parent)
		{
			parentParent->_left = subR;
		}
		else
		{
			parentParent->_right = subR;
		}
		subR->_parent = parentParent;
	}
	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}
2.3.6 左右双旋

通过图7和图8可以看到，左边高时，如果插入位置不是在a子树，而是插入在b子树，b子树高度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋无法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边高，但是插入在b子树中，10为跟的子树不再是单纯的左边高，对于10是左边高，但是对于5是右边高，需要用两次旋转才能解决，以5为旋转点进行一个左单旋，以10为旋转点进行一个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。

图七

图八

图7和图8分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL 子树进行分析，另外我们需要把b子树的细节进⼀步展开为8和左子树高度为h-1的e和f子树，因为 我们要对b的父亲5为旋转点进行左单旋，左单旋需要动b树中的左子树。b子树中新增结点的位置 不同，平衡因子更新的细节也不同，通过观察8的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

场景1：h >= 1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因子， 引发旋转，其中8的平衡因子为-1，旋转后8和5平衡因子为0，10平衡因⼦为1。

场景2：h >= 1时，新增结点插⼊在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因子，引 发旋转，其中8的平衡因子为1，旋转后8和10平衡因子为0，5平衡因子为-1。

场景3：h == 0时，a/b/c都是空树，b自己就是一个新增结点，不断更新5->10平衡因子，引发旋 转，其中8的平衡因子为0，旋转后8和10和5平衡因子均为0。

图九

2.3.7左右双旋代码实现
cpp 复制代码 
	//左右双旋
	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		//记录平衡因子
		//通过subLR的bf来判断情况
		int bf = subLR->_bf;

		RotateLR(subL);
		RotateR(parent);
		if (bf == 0)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if(bf == 1)
		{
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			parent->_bf = 1;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
2.3.8 右左双旋

跟左右双旋类似，下面我们将a/b/c子树抽象为高度h的AVL子树进行分析，另外我们需要把b子树的 细节进⼀步展开为12和左子树高度为h-1的e和f子树，因为我们要对b的父亲15为旋转点进行右单 旋，右单旋需要动b树中的右子树。b子树中新增结点的位置不同，平衡因子更新的细节也不同，通 过观察12的平衡因子不同，这里我们要分三个场景讨论。

场景1：h>=1时，新增结点插入在e子树，e子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因 子，引发旋转，其中12的平衡因子为-1，旋转后10和12平衡因子为0，15平衡因子为1。

场景2：h>=1时，新增结点插入在f子树，f子树高度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因子， 引发旋转，其中12的平衡因子为1，旋转后15和12平衡因子为0，10平衡因子为-1。

场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b自己就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因子，引发旋 转，其中12的平衡因子为0，旋转后10和12和15平衡因子均为0。

图十

2.3.9 右左双旋代码实现
cpp 复制代码 
void RotateRL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;
	int bf = subRL->_bf;
	RotateR(subR);
	RotateL(parent);
	if (bf == 0)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else if (bf == 1)
	{
		subR->_bf = 0;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		subR->_bf = 1;
		subRL->_bf = 0;
		parent->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

2.4 AVL树的查找

按照二叉搜索树逻辑实现即可，搜索效率为O(logN)

cpp 复制代码 
	Node* Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}
		return nullptr;
	}

2.5 AVL树平衡检测

我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点 的平衡因⼦更新是否出现了问题。

cpp 复制代码 
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return true;
	}
	int leftHeight = _Height(root->_left);
	int rightHeight = _Height(root->_right);
	int bf = rightHeight - leftHeight;
	if (abs(bf) >= 2||bf!=root->_bf)
	{
		cout << root->_kv.first << "平衡因子异常" << endl;
		return false;
	}
	return  _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}
相关推荐
Han.miracle19 小时前
数据结构——二叉树的从前序与中序遍历序列构造二叉树
java·数据结构·学习·算法·leetcode
北冥湖畔的燕雀20 小时前
C++泛型编程（函数模板以及类模板）
开发语言·c++
QX_hao21 小时前
【Go】--map和struct数据类型
开发语言·后端·golang
独自破碎E21 小时前
判断链表是否为回文
数据结构·链表
你好，我叫C小白21 小时前
C语言 循环结构（1）
c语言·开发语言·算法·while·do...while
Evand J1 天前
【MATLAB例程】基于USBL和DVL的线性回归误差补偿，对USBL和DVL导航数据进行相互补偿，提高定位精度，附代码下载链接
开发语言·matlab·线性回归·水下定位·usbl·dvl
Larry_Yanan1 天前
QML学习笔记（四十二）QML的MessageDialog
c++·笔记·qt·学习·ui
爱喝白开水a1 天前
LangChain 基础系列之 Prompt 工程详解：从设计原理到实战模板_langchain prompt
开发语言·数据库·人工智能·python·langchain·prompt·知识图谱
Neverfadeaway1 天前
【C语言】深入理解函数指针数组应用（4）
c语言·开发语言·算法·回调函数·转移表·c语言实现计算器
武子康1 天前
Java-152 深入浅出 MongoDB 索引详解 从 MongoDB B-树 到 MySQL B+树 索引机制、数据结构与应用场景的全面对比分析
java·开发语言·数据库·sql·mongodb·性能优化·nosql
热门推荐
01BongoCat - 跨平台键盘猫动画工具02GitHub 镜像站点03UV安装并设置国内源04Linux下V2Ray安装配置指南05两千字总结：Codex 国内如何安装和使用的教程，以及如何设置中文回答06KGG转MP3工具|非KGM文件|解密音频07荣耀手机2025年10月发布的新品Magic8比起Magic7，在硬件、性能、价格等上有什么区别，有什么优势08windows找不到gpedit.msc（本地组策略编辑器）09GitLab 零基础入门指南：从安装到项目管理全流程10NVIDIA显卡驱动、CUDA、cuDNN 和 TensorRT 版本匹配指南