题目 ：从 1 , 2 , 3 , ⋯ , 2014 1, 2, 3, \cdots, 2014 1,2,3,⋯,2014 中最多可以选出多少个不同的数．使得在所选数中任取三个数．其中都可以找到两个数．满足：一个是另一个的倍数？
🔍 破题思路
题目要求选的数必须满足：任意三个数中必有一对是倍数关系．
- 若选的数全无倍数关系 （如 3 , 5 , 7 3, 5, 7 3,5,7）．则违反条件．
- 因此需构造倍数链 （如 1 , 2 , 4 , 8 1, 2, 4, 8 1,2,4,8）．
💡 关键观察：
若将选的数分为若干条"互不干扰"的倍数链．且每条链长度 ≤2．则条件必然满足．
但这样效率低！更优策略是------用指数增长控制规模．
🔢 关键推导
1. 证明上限（最多选21个数）
假设选出的数列为 a 1 < a 2 < ⋯ < a n a_1 < a_2 < \cdots < a_n a1<a2<⋯<an．满足条件．
- 由 a 2 ≥ 2 a_2 \geq 2 a2≥2．且 a 2 , a 3 , a 4 a_2, a_3, a_4 a2,a3,a4 中必有一对倍数关系．因 a 4 a_4 a4 最大．故 a 4 a_4 a4 是 a 2 a_2 a2 的倍数 ．即：
a 4 ≥ 2 a 2 ≥ 2 2 a_4 \geq 2a_2 \geq 2^2 a4≥2a2≥22 - 类似地：
a 6 ≥ 2 a 4 ≥ 2 3 ⋯ a 2 k ≥ 2 k + 1 \begin{aligned} a_6 &\geq 2a_4 \geq 2^3 \\ &~~\cdots \\ a_{2k} &\geq 2^{k+1} \end{aligned} a6a2k≥2a4≥23 ⋯≥2k+1
若 n ≥ 22 n \geq 22 n≥22．则：
a 22 ≥ 2 11 = 2048 > 2014 （矛盾） a_{22} \geq 2^{11} = 2048 > 2014 \quad \text{（矛盾）} a22≥211=2048>2014（矛盾）
故 n ≤ 21 n \leq 21 n≤21．
2. 构造21个数的例子
取以下两组数：
- 纯2的幂 ： 1 , 2 , 4 , ⋯ , 2 10 1, 2, 4, \cdots, 2^{10} 1,2,4,⋯,210（共11个）．
- 带3的混合幂 ： 3 , 2 × 3 , 4 × 3 , ⋯ , 2 9 × 3 3, 2 \times 3, 4 \times 3, \cdots, 2^9 \times 3 3,2×3,4×3,⋯,29×3（共10个）．
验证：
- 若三个数全来自第一组或第二组．因组内是等比数列．必有两数成倍数关系．
- 若跨组取数（如 2 a 2^a 2a 和 3 × 2 b 3 \times 2^b 3×2b）．虽无直接倍数关系．但第一组内部已满足条件（抽屉原理）．
💎 总结归纳
通用解题策略
- 找约束：通过必要条件（如数列增长下界）推导上限．
- 构造反例：用指数或线性增长构造满足条件的例子．验证上限可达．
- 分类讨论：将数列分为若干子集．确保子集内部满足条件．