你知道一维空间的二次方程是什么样子的吗？比如ax² + bx + c，x²项使它成为二次方程。
二次型是x²项的多维版本。在二维空间中，它看起来像：
ax² + bxy + cy²
注意，每个项的次数都是 2: (x², xy, y²)。没有像 x 或 y 这样的线性项，也没有常数项。
美妙之处在于：v^T H v 恰好是一个二次型。将其相乘，得到：
v₁²·(∂²f/∂x²) + 2v₁v₂·(∂²f/∂x∂y) + v₂²·(∂²f/∂y²)
每个项的 v 分量的次数都是 2。Hessian 矩阵只是所有这些二次系数的一种简洁写法。
ax² + bxy + cy² ：根据a、b和c的值，这可以是一个碗（都是正值），一个倒置的碗（都是负值），或者......一个马鞍形！
"一袋薯片"？没错！这就是广义二次型给你的一袋不同的曲面。碗状、山状、马鞍形，都用同一个紧凑公式描述，只是系数不同。然后， Hessian 矩阵会告诉你，你手里拿着的是哪种薯片！如果 Hessian 矩阵是"正定的"，你就得到了一个碗。如果它是"负定的"，你就得到了一个倒置的碗。如果两者都不是......你就得到了一个马鞍形。
"正定"（Positive definite），这个术语在优化、理解Hessian矩阵、区分芯片的过程中随处可见。
它的含义是：二次型（或表示它的矩阵）是"正定的"，如果无论你选择哪个方向，v^T H v 的值始终为正，始终大于零。从几何学上讲，这意味着：无论你从临界点往哪个方向走，你都在上坡，每个方向都向上弯曲。这是一个碗状，一个局部最小值。
如果是"负定矩阵"，那么 v^T H v 在任何方向上都为负，每条路径都向下。那就是山顶，局部最大值。
如果两者都不是......如果某些方向给出正值，而其他方向给出负值，那就是马鞍形。有些路径向上，有些路径向下。
关于"正定"，我们知道它在概念上的含义，对于所有方向 v，v^T H v > 0。但我们需要一个实用的方法来验证它。有几种方法可以验证这一点：一种方法涉及"特征值"，这是一个精彩的主题；另一种方法涉及研究某些子矩阵及其行列式。
特征值在某些方面更基础。它告诉你"主曲率"，曲率的最强方向和最弱方向，这对于理解优化至关重要。但它们也更抽象，需要更多准备。行列式更具体，更具计算性。"计算一下，看看它是否为正。"但它们可能感觉更像是一个处方，而不是一种理解。
