折半插入排序
直接插入排序在确定插入位置时，需要逐个比较已排序区间的元素，当已排序区间较长时，比较次数较多。折半插入排序则利用"已排序区间是有序的"这一特性，通过折半查找快速确定插入位置，从而减少比较次数，是对直接插入排序的高效优化。
1. 折半插入排序的执行流程
我们以数组arr = {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49}为例，详细演示折半插入排序的每一步：
- 初始状态 ：已排序区间为
[49]，未排序区间为{38, 65, 97, 76, 13, 27, 49}。 - 第1次插入（处理38） ：
目标是将38插入到已排序区间[49]的合适位置。
① 折半查找插入位置：定义low=0，high=0（已排序区间长度为1），计算mid = (low+high)/2 = 0。比较arr[mid]=49与38，38 < 49，所以插入位置在mid左侧，更新high=mid-1=-1，此时low > high，确定插入位置为low=0。
② 移动元素并插入：将49后移一位，把38插入到arr[0]位置。数组变为{38, 49, 65, 97, 76, 13, 27, 49}，已排序区间扩展为[38, 49]。 - 第2次插入（处理65） ：
已排序区间为[38, 49]，处理未排序区间的65。
① 折半查找：low=0，high=1，mid=(0+1)/2=0。比较arr[mid]=38与65，65 > 38，更新low=mid+1=1；再次计算mid=(1+1)/2=1，比较arr[mid]=49与65，65 > 49，更新low=mid+1=2，此时low > high，确定插入位置为low=2。
② 移动元素并插入：65直接插入到49后面，数组不变，已排序区间扩展为[38, 49, 65]。 - 第3次插入（处理97） ：
已排序区间为[38, 49, 65]，处理97。
折半查找后，发现97大于已排序区间的最大元素65，直接插入到末尾，数组不变。 - 第4次插入（处理76） ：
已排序区间为[38, 49, 65, 97]，处理76。
① 折半查找：low=0，high=3，mid=1（arr[1]=49 < 76），更新low=2；mid=2（arr[2]=65 < 76），更新low=3；mid=3（arr[3]=97 > 76），更新high=2，此时low > high，确定插入位置为low=3。
② 移动元素并插入：将97后移，把76插入到65和97之间，数组变为{38, 49, 65, 76, 97, 13, 27, 49}。 - 后续插入（处理13、27、49） ：
按照同样的折半查找逻辑，13会被插入到最前面，27插入到13之后，最后一个49会插入到已排序区间中第一个49的后面（保持相同元素的相对顺序，算法稳定）。最终数组变为{13, 27, 38, 49, 49, 65, 76, 97}。
2. 折半插入排序的代码实现
以下是折半插入排序的C语言实现，核心是用折半查找确定插入位置，再移动元素完成插入：
c
void BinaryInsertSort(int arr[], int n) {
int i, j, low, high, mid, temp;
for (i = 1; i < n; i++) {
temp = arr[i]; // 取出未排序区间的第一个元素
low = 0; high = i - 1; // 已排序区间的范围[low, high]
while (low <= high) { // 折半查找插入位置
mid = (low + high) / 2;
if (arr[mid] > temp) high = mid - 1;
else low = mid + 1;
}
for (j = i; j > low; j--) { // 移动元素，腾出插入位置
arr[j] = arr[j - 1];
}
arr[low] = temp; // 插入元素
}
}代码说明：
- 外层循环
i遍历未排序区间的起始位置； - 折半查找阶段：通过
low和high缩小范围，最终low即为插入位置； - 元素移动阶段：从
i位置开始，将元素后移，直到low位置，再将temp插入。
3. 折半插入排序的性能与特性
- 时间复杂度 ：
折半查找的时间复杂度为 O ( log n ) O(\log n) O(logn)，但元素移动的次数仍与直接插入排序相同，因此整体时间复杂度仍为 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)。不过，由于减少了比较次数，实际运行效率比直接插入排序更高。 - 空间复杂度 ：仅需一个临时变量
temp，空间复杂度为 O ( 1 ) O(1) O(1)。 - 稳定性 ：相同元素插入时，相对顺序不会改变，因此折半插入排序是稳定的。
4. 适用场景
折半插入排序适合已排序区间较长 的场景，此时折半查找的优势能充分体现，减少大量比较操作。例如，对基本有序的数组进行排序，或数据量中等（如 n n n在几百到几千之间）的情况，它的效率比直接插入排序更优。
综上，折半插入排序通过折半查找优化了"确定插入位置"的过程，在比较次数上有明显优势，且保持了直接插入排序的稳定性和空间效率，是插入排序家族中更高效的实现方式。理解其"折半查找+元素移动"的逻辑，能为后续学习更复杂的排序算法提供思路。