在上一篇篇章中，我们讲到了PID控制系统的基本结构和S-Function。本章我们就PID控制模型本身展开。
1 连续PID控制规律
根据上一节所述：
err(t)=yd(t)−y(t) err(t)=y_d(t)-y(t) err(t)=yd(t)−y(t)
其中yd(t)y_d(t)yd(t)为期望值（目标），y(t)y(t)y(t)为实际输出值，err(t)err(t)err(t)为偏差。
u(t)=kperr(t)+ki∫t0tferr(t)dt+kdderr(t)dt u(t)=k_perr(t)+k_i\int^{t_f}_{t_0}err(t)dt+k_d\frac{derr(t)}{dt} u(t)=kperr(t)+ki∫t0tferr(t)dt+kddtderr(t)
连续系统的控制量一般为上述形式，对应的控制规律我们称为连续PID控制。各个变量一般都是时间的连续函数。
2 离散PID控制规律
由于各种控制系统采用的底层控制控制器实际上都是离散的（就是微控制器计算），包括传感器值的采样也是离散的。因此，实际控制中，离散PID控制应用更加广泛。
而且，由于离散化，在对连续PID控制规律采样的基础上，还演化出了很多改进控制规律（虽然其控制量不完全与连续PID相通，但能达到同样甚至更好的控制效果。）
2.1 位置式PID
位置式PID与连续PID的关联最为紧密，两者通过如下方式转换：
- 采样时刻kT(k=0,1,2,...)kT(k=0,1,2,...)kT(k=0,1,2,...)替代连续时间ttt
- 矩阵法数值积分（面积法，还可以用梯形法等）近似替代积分
- 一阶向后差分（还可以通过更高精度的插值实现）近似替代微分
u(k)=kperr(k)+ki∑j=0kerr(j)T+kderr(k)−err(k−1)T u(k)= k_perr(k)+k_i\sum^k_{j=0}err(j)T+k_d\frac{err(k)-err(k-1)}{T} u(k)=kperr(k)+kij=0∑kerr(j)T+kdTerr(k)−err(k−1)
注意：上述离散函数的自变量没有显示写出TTT，以u(k)u(k)u(k)为例，其取值对应连续系统的u(kT)u(kT)u(kT)。
离散连续PID控制规律的方法还有很多，这里只举了最简单的一种。
2.2 增量式PID
对于某些控制，我们需要实现的是控制量的增量，即其控制率是Δu(k)\Delta u(k)Δu(k)。
直接对位置式控制规律作递推并作差，得到增量式PID控制：
u(k)−u(k−1)=Δu(k)=kp(err(k)−err(k−1))+kierr(k)T+kd(err(k)−2err(k−1)+err(k−2)) u(k)-u(k-1)=\Delta u(k)=k_p(err(k)-err(k-1))+k_ierr(k)T+k_d(err(k)-2err(k-1)+err(k-2)) u(k)−u(k−1)=Δu(k)=kp(err(k)−err(k−1))+kierr(k)T+kd(err(k)−2err(k−1)+err(k−2))
这样做，还有一个好处，积分项不需要累加。控制增量Δu(k)\Delta u(k)Δu(k)只与最近的k次采样有关。
这里引用原书的一段话：
在计算机控制系统中，PID控制是通过计算机程序实现的，...，一些在原来模拟PID控制器中无法实现的问题，在引入计算机以后就可以得到解决，于是产生了一系列的改进算法，形成
非标准的控制算法，以改善系统品质，满足不同控制系统的需要。
最后
其实还有很对离散PID基本形式，这里不再叙述。
关于PID整定（参数调整），很考验经验。笔者投降。希望某天能够开悟。