线性代数 - 矩阵求逆

线性代数 - 矩阵求逆

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逆矩阵

逆矩阵就是可逆方阵的"倒数"，对于方阵A\mathbf{A}A，如果存在一个方阵A−1\mathbf{A}^{-1}A−1，满足A×A−1=A−1×A=I\mathbf{A} \times \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \times \mathbf{A} = \mathbf{I}A×A−1=A−1×A=I，那A−1\mathbf{A}^{-1}A−1就是A\mathbf{A}A的逆矩阵。
I\mathbf{I}I是单位矩阵，相当于数字里的"1"，单位矩阵是一种特殊的方阵，：主对角线（从左上到右下）上的元素全是1，其余位置的元素全是0。

比如3阶单位矩阵I3=100010001\mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}I3= 100010001

它的作用类似数字"1"------任何矩阵和它相乘，结果都等于原矩阵（前提是乘法规则允许）

矩阵A=211433879\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 8 & 7 & 9 \end{bmatrix}A= 248137139 （行列式=4≠0，可逆），它的逆矩阵A−1\mathbf{A}^{-1}A−1就满足A×A−1=100010001\mathbf{A} \times \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}A×A−1= 100010001 。

1. 前提：只有可逆方阵才有逆矩阵，非方阵或行列式=0的方阵（奇异矩阵）都没有逆矩阵。
2. 作用 ："还原"，比如用A\mathbf{A}A把向量x\mathbf{x}x变成y\mathbf{y}y（y=Ax\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}y=Ax），用A−1\mathbf{A}^{-1}A−1乘y\mathbf{y}y就能变回x\mathbf{x}x（x=A−1y\mathbf{x}=\mathbf{A}^{-1}\mathbf{y}x=A−1y），这在解线性方程组时特别常用。
3. 唯一性：一个可逆矩阵的逆矩阵是唯一的，不会有多个不同的逆矩阵。

也可以这么说

设 A\mathbf{A}A 为 nnn 阶方阵（行数=列数=nnn），若存在 nnn 阶方阵 A−1\mathbf{A}^{-1}A−1，满足：
A×A−1=A−1×A=In\mathbf{A} \times \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \times \mathbf{A} = \mathbf{I}_nA×A−1=A−1×A=In

其中 In\mathbf{I}_nIn 为 nnn 阶单位矩阵，形式为：
In=10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1n×n\mathbf{I}n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix}{n \times n}In= 10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1 n×n

则 A−1\mathbf{A}^{-1}A−1 称为 A\mathbf{A}A 的逆矩阵。

计算过程

计算矩阵A=211433879\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 \\ 8 & 7 & 9 \end{bmatrix}A= 248137139 的逆矩阵

构造增广矩阵A∣I3\\mathbf{A} \\mid \\mathbf{I}_3A∣I3，通过初等行变换把左边的A\mathbf{A}A变成单位矩阵I3\mathbf{I}_3I3，此时右边的I3\mathbf{I}_3I3就变成了A−1\mathbf{A}^{-1}A−1。

第一步：构造初始增广矩阵

把A\mathbf{A}A和3阶单位矩阵I3\mathbf{I}_3I3拼接，得到：
A∣I3=211⋮100433⋮010879⋮001 \\mathbf{A} \\mid \\mathbf{I}_3 = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 3 & 3 & \vdots & 0 & 1 & 0 \\ 8 & 7 & 9 & \vdots & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A∣I3= 248137139⋮⋮⋮100010001

第二步：消去第1列下方的非零元素（目标：第1列只有第1行非零）

行变换操作：r2=r2−2r1r_2 = r_2 - 2r_1r2=r2−2r1（第2行减去第1行的2倍）、r3=r3−4r1r_3 = r_3 - 4r_1r3=r3−4r1（第3行减去第1行的4倍）

计算过程：

• r2r_2r2新值：4−2×2,3−2×1,3−2×1,0−2×1,1−2×0,0−2×0=0,1,1,−2,1,04-2×2, 3-2×1, 3-2×1, 0-2×1, 1-2×0, 0-2×0 = 0, 1, 1, -2, 1, 04−2×2,3−2×1,3−2×1,0−2×1,1−2×0,0−2×0=0,1,1,−2,1,0
• r3r_3r3新值：8−4×2,7−4×1,9−4×1,0−4×1,0−4×0,1−4×0=0,3,5,−4,0,18-4×2, 7-4×1, 9-4×1, 0-4×1, 0-4×0, 1-4×0 = 0, 3, 5, -4, 0, 18−4×2,7−4×1,9−4×1,0−4×1,0−4×0,1−4×0=0,3,5,−4,0,1

变换后矩阵：
211⋮100011⋮−210035⋮−401 \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 5 & \vdots & -4 & 0 & 1 \end{bmatrix} 200113115⋮⋮⋮1−2−4010001

第三步：消去第2列下方的非零元素（目标：第2列只有第2行非零）

行变换操作：r3=r3−3r2r_3 = r_3 - 3r_2r3=r3−3r2（第3行减去第2行的3倍）

计算过程：

• r3r_3r3新值：0−3×0,3−3×1,5−3×1,−4−3×(−2),0−3×1,1−3×0=0,0,2,2,−3,10-3×0, 3-3×1, 5-3×1, -4-3×(-2), 0-3×1, 1-3×0 = 0, 0, 2, 2, -3, 10−3×0,3−3×1,5−3×1,−4−3×(−2),0−3×1,1−3×0=0,0,2,2,−3,1

变换后矩阵：
211⋮100011⋮−210002⋮2−31 \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 & \vdots & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & \vdots & 2 & -3 & 1 \end{bmatrix} 200110112⋮⋮⋮1−2201−3001

第四步：将主对角线元素化为1（目标：第1、2、3行主对角线元素都是1）

行变换操作：r1=r1÷2r_1 = r_1 ÷ 2r1=r1÷2（第1行除以2）、r3=r3÷2r_3 = r_3 ÷ 2r3=r3÷2（第3行除以2）

计算过程：

• r1r_1r1新值：2÷2,1÷2,1÷2,1÷2,0÷2,0÷2=1,0.5,0.5,0.5,0,02÷2, 1÷2, 1÷2, 1÷2, 0÷2, 0÷2 = 1, 0.5, 0.5, 0.5, 0, 02÷2,1÷2,1÷2,1÷2,0÷2,0÷2=1,0.5,0.5,0.5,0,0
• r3r_3r3新值：0÷2,0÷2,2÷2,2÷2,−3÷2,1÷2=0,0,1,1,−1.5,0.50÷2, 0÷2, 2÷2, 2÷2, -3÷2, 1÷2 = 0, 0, 1, 1, -1.5, 0.50÷2,0÷2,2÷2,2÷2,−3÷2,1÷2=0,0,1,1,−1.5,0.5

变换后矩阵：
10.50.5⋮0.500011⋮−210001⋮1−1.50.5 \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0.5 & \vdots & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \vdots & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & 1 & -1.5 & 0.5 \end{bmatrix} 1000.5100.511⋮⋮⋮0.5−2101−1.5000.5

第五步：消去主对角线上方的非零元素（目标：上三角区域全为0）

第一步：消去第3列上方非零元素（第1、2行的第3列）

行变换操作：r1=r1−0.5r3r_1 = r_1 - 0.5r_3r1=r1−0.5r3（第1行减去第3行的0.5倍）、r2=r2−r3r_2 = r_2 - r_3r2=r2−r3（第2行减去第3行的1倍）

计算过程：

• r1r_1r1新值：1−0.5×0,0.5−0.5×0,0.5−0.5×1,0.5−0.5×1,0−0.5×(−1.5),0−0.5×0.5=1,0.5,0,0,0.75,−0.251-0.5×0, 0.5-0.5×0, 0.5-0.5×1, 0.5-0.5×1, 0-0.5×(-1.5), 0-0.5×0.5 = 1, 0.5, 0, 0, 0.75, -0.251−0.5×0,0.5−0.5×0,0.5−0.5×1,0.5−0.5×1,0−0.5×(−1.5),0−0.5×0.5=1,0.5,0,0,0.75,−0.25
• r2r_2r2新值：0−1×0,1−1×0,1−1×1,−2−1×1,1−1×(−1.5),0−1×0.5=0,1,0,−3,2.5,−0.50-1×0, 1-1×0, 1-1×1, -2-1×1, 1-1×(-1.5), 0-1×0.5 = 0, 1, 0, -3, 2.5, -0.50−1×0,1−1×0,1−1×1,−2−1×1,1−1×(−1.5),0−1×0.5=0,1,0,−3,2.5,−0.5

变换后矩阵：
10.50⋮00.75−0.25010⋮−32.5−0.5001⋮1−1.50.5 \begin{bmatrix} 1 & 0.5 & 0 & \vdots & 0 & 0.75 & -0.25 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & -3 & 2.5 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & 1 & -1.5 & 0.5 \end{bmatrix} 1000.510001⋮⋮⋮0−310.752.5−1.5−0.25−0.50.5

第二步：消去第2列上方非零元素（第1行的第2列）

行变换操作：r1=r1−0.5r2r_1 = r_1 - 0.5r_2r1=r1−0.5r2（第1行减去第2行的0.5倍）

计算过程：

• r1r_1r1新值：1−0.5×0,0.5−0.5×1,0−0.5×0,0−0.5×(−3),0.75−0.5×2.5,−0.25−0.5×(−0.5)=1,0,0,1.5,−0.5,01-0.5×0, 0.5-0.5×1, 0-0.5×0, 0-0.5×(-3), 0.75-0.5×2.5, -0.25-0.5×(-0.5) = 1, 0, 0, 1.5, -0.5, 01−0.5×0,0.5−0.5×1,0−0.5×0,0−0.5×(−3),0.75−0.5×2.5,−0.25−0.5×(−0.5)=1,0,0,1.5,−0.5,0

第六步：得到最终结果（左侧化为I3\mathbf{I}_3I3，右侧即为A−1\mathbf{A}^{-1}A−1）

最终增广矩阵：
I3∣A−1=100⋮1.5−0.50010⋮−32.5−0.5001⋮1−1.50.5 \\mathbf{I}_3 \\mid \\mathbf{A}\^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \vdots & 1.5 & -0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \vdots & -3 & 2.5 & -0.5 \\ 0 & 0 & 1 & \vdots & 1 & -1.5 & 0.5 \end{bmatrix} I3∣A−1= 100010001⋮⋮⋮1.5−31−0.52.5−1.50−0.50.5

将小数化为分数（更规范），矩阵A\mathbf{A}A的逆矩阵为：
A−1=32−120−352−121−3212 \mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ -3 & \frac{5}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix} A−1= 23−31−2125−230−2121

不是方阵就一定不可逆，逆矩阵的定义要求矩阵A和它的逆矩阵A−1\mathbf{A}^{-1}A−1相乘，结果必须是单位矩阵I，而单位矩阵I本身是方阵（行数=列数）。

从乘法规则来看：如果A是m行n列的非方阵（m≠n），不管 A−1\mathbf{A}^{-1}A−1是什么形状，都没法满足A×A−1=A−1×A=I\mathbf{A} \times \mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1} \times \mathbf{A} = \mathbf{I}A×A−1=A−1×A=I------因为左边相乘后矩阵的行数、列数，和右边单位矩阵的行数、列数根本对不上，乘法结果不可能是单位矩阵。

非方阵虽然没有"逆矩阵"，但在某些场景下会有"伪逆"，不过这和"可逆矩阵"不是一回事，不能等同看待。