分糖果算法题

分糖果，圣诞节到了，城堡里有k个小朋友，圣诞老人魔力袋里带了n件无差别的小礼物，请圣诞老人处理，将n个无差别的礼物分给k个小朋友的分法问题，给定n和k，输出总分法总数，并枚举所有的分法。其中 | 作为分隔符，每个小朋友的糖果用星号表示。

示例：3个糖果分给2个小朋友。总共有4种分法，枚举所有的分法如下：

*** ｜

** ｜*

* ｜**

｜ ***

java代码实现如下：

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/**
  * 计算将n个无差别糖果分给k个小朋友的分法总数（组合数学中的"stars and bars"问题）
  * 公式：C(n + k - 1, k - 1)
*/
public static int countDistributionWays(int n, int k) {
    // 使用组合数公式 C(n + k - 1, k - 1)
    return combination(n + k - 1, k - 1);
}

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/**
  * 计算组合数 C(n, k)
  */
private static int combination(int n, int k) {
        if (k < 0 || k > n) return 0;
        if (k == 0 || k == n) return 1;

        // 使用递推公式 C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
        int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];

        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= Math.min(i, k); j++) {
                if (j == 0 || j == i) {
                    dp[i][j] = 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j];
                }
            }
        }

        return dp[n][k];
    }

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/**
  * 枚举所有分法
  */
public static List<List<Integer>> enumerateDistributions(int n, int k) {
        List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
        List<Integer> current = new ArrayList<>();

        // 初始化当前分配方案
        for (int i = 0; i < k; i++) {
            current.add(0);
        }

        backtrack(n, k, 0, 0, current, result);
        return result;
    }

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/**
  * 回溯法生成所有分配方案
  */
private static void backtrack(int n, int k, int index, int sum,
                                  List<Integer> current, List<List<Integer>> result) {
        // 如果已经分配完所有糖果且分配到所有小朋友
        if (index == k) {
            if (sum == n) {
                result.add(new ArrayList<>(current));
            }
            return;
        }

        // 当前小朋友可以分得的糖果数（从0到剩余糖果数）
        int remaining = n - sum;
        for (int i = 0; i <= remaining; i++) {
            current.set(index, i);
            backtrack(n, k, index + 1, sum + i, current, result);
        }
    }

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/**
  * 打印所有分配方案
  */
public static void printDistributions(List<List<Integer>> distributions) {
        for (int i = 0; i < distributions.size(); i++) {
            List<Integer> dist = distributions.get(i);
            StringBuilder format = new StringBuilder();
            for (int j = 0; j < dist.size(); j++) {
                int candyCount = dist.get(j);
                // 添加星号
                format.append("*".repeat(candyCount));
                // 添加分隔符（除了最后一个小朋友）
                if (j < dist.size() - 1) {
                    format.append("｜");
                }
            }
            System.out.println(format.toString());
        }
    }