文章目录
-
- [IV. TENSOR DECOMPOSITION BASED CHANNEL ESTIMATION METHODS](#IV. TENSOR DECOMPOSITION BASED CHANNEL ESTIMATION METHODS)
-
- [A. Esprit-Type Decomposition Based Channel Estimation](#A. Esprit-Type Decomposition Based Channel Estimation)
IV. TENSOR DECOMPOSITION BASED CHANNEL ESTIMATION METHODS
在本节中，我们提出了一种基于张量分解的时变毫米波 MIMO-OFDM 系统信道估计算法。所提出的传输结构确保了导频信号在时隙间具有旋转不变性，因此，因子矩阵 D \mathbf{D} D 具有范德蒙德（Vandermonde）结构。利用这一特性，我们提出了一种基于 ESPRIT 类型分解的方法来估计多普勒频率和其他参数，该方法计算效率高且不需要迭代。唯一性条件分析表明，所提出的算法比其他张量分解方法具有更好的鲁棒性，并且可以有效处理某些因子矩阵中的秩亏问题。
A. Esprit-Type Decomposition Based Channel Estimation
可以通过求解 CP 分解问题来恢复因子矩阵
min A , B , C , D ∥ Y − I 4 , L × 1 A × 2 B × 3 C × 4 D ∥ F 2 . (18) \min_{\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C},\mathbf{D}} \|\boldsymbol{\mathcal{Y}} - \boldsymbol{\mathcal{I}}_{4,L} \times_1 \mathbf{A} \times_2 \mathbf{B} \times_3 \mathbf{C} \times_4 \mathbf{D} \|_F^2 . \tag{18} A,B,C,Dmin∥Y−I4,L×1A×2B×3C×4D∥F2.(18)
令 X = [ [ ( B ⊙ A ) , C , D ] ] + N r W ∈ C Q B S N s × K × M \boldsymbol{\mathcal{X}} = [[(\mathbf{B} \odot \mathbf{A}), \mathbf{C}, \mathbf{D}]] + \boldsymbol{\mathcal{N}}r^{\mathrm{W}} \in \mathbb{C}^{Q{\mathrm{BS}} N_s \times K \times M} X=[[(B⊙A),C,D]]+NrW∈CQBSNs×K×M 为四阶张量 Y = [ [ A , B , C , D ] ] \boldsymbol{\mathcal{Y}} = [[\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}]] Y=[[A,B,C,D]] 的重塑版本，其中 N r W \boldsymbol{\mathcal{N}}_r^{\mathrm{W}} NrW 是噪声张量 N × 1 W T \boldsymbol{\mathcal{N}} \times_1 \mathbf{W}^{\mathrm{T}} N×1WT 的重塑版本。在本节中，我们通过利用范德蒙德矩阵的结构 [33] 并使用空间平滑 ESPRIT 算法来求解 CP 分解问题。
X \boldsymbol{\mathcal{X}} X 的模-1 展开由 X 1 = ( D ⊙ C ) ( B ⊙ A ) T ∈ C K M × Q B S N s \mathbf{X}1 = (\mathbf{D} \odot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \odot \mathbf{A})^{\mathrm{T}} \in \mathbb{C}^{KM \times Q{\mathrm{BS}} N_s} X1=(D⊙C)(B⊙A)T∈CKM×QBSNs 给出。注意因子矩阵 C \mathbf{C} C 和 D \mathbf{D} D 是具有不同生成元的范德蒙德矩阵。这种特定结构允许通过利用范德蒙德形式及其关联的 X 1 \mathbf{X}_1 X1 子空间的旋转不变性特性来求解 CP 分解。范德蒙德结构使得能够使用空间平滑来解相关相干源并增加有效快拍数，从而便于应用依赖于旋转不变性的基于子空间的方法。
令空间平滑的子阵列长度为 K 4 K_4 K4，子阵列数量为 L 4 L_4 L4，其中 K 4 + L 4 = M + 1 K_4 + L_4 = M + 1 K4+L4=M+1，并定义 J l ≜ [ 0 K 4 × ( l − 1 ) I K 4 0 K 4 × ( L 4 − l ) ] ∈ C K 4 × M \mathbf{J}l \triangleq [\mathbf{0}{K_4 \times (l-1)} \;\mathbf{I}{K_4}\; \mathbf{0}{K_4 \times (L_4-l)}] \in \mathbb{C}^{K_4 \times M} Jl≜[0K4×(l−1)IK40K4×(L4−l)]∈CK4×M。那么， X 1 \mathbf{X}_1 X1 的空间平滑定义为 [33]
X s = [ ( J 1 ⊗ I K ) X 1 , ⋯ , ( J L 4 ⊗ I K ) X 1 ] = [ ( J 1 ⊗ I K ) ( D ⊙ C ) ( B ⊙ A ) T , ... , ( J L 4 ⊗ I K ) ( D ⊙ C ) ( B ⊙ A ) T ] . (19) \begin{aligned} \mathbf{X}_s &= [(\mathbf{J}_1 \otimes \mathbf{I}_K) \mathbf{X}1, \cdots, (\mathbf{J}{L_4} \otimes \mathbf{I}_K) \mathbf{X}_1] \\ &= [(\mathbf{J}_1 \otimes \mathbf{I}K) (\mathbf{D} \odot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \odot \mathbf{A})^{\mathrm{T}}, \\ &\quad \quad \dots, (\mathbf{J}{L_4} \otimes \mathbf{I}_K) (\mathbf{D} \odot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \odot \mathbf{A})^{\mathrm{T}}]. \end{aligned} \tag{19} Xs=[(J1⊗IK)X1,⋯,(JL4⊗IK)X1]=[(J1⊗IK)(D⊙C)(B⊙A)T,...,(JL4⊗IK)(D⊙C)(B⊙A)T].(19)
利用 Khatri-Rao 积的性质 ( A ⊗ B ) ( C ⊙ D ) = ( A C ) ⊙ ( B D ) (\mathbf{A} \otimes \mathbf{B})(\mathbf{C} \odot \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\mathbf{C}) \odot (\mathbf{B}\mathbf{D}) (A⊗B)(C⊙D)=(AC)⊙(BD) [34]，方程 (19) 可重写为
X s = [ ( ( J 1 D ) ⊙ C ) ( B ⊙ A ) T , ... , ( ( J L 4 D ) ⊙ C ) ( B ⊙ A ) T ] . (20) \begin{aligned} \mathbf{X}_s &= [((\mathbf{J}1 \mathbf{D}) \odot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \odot \mathbf{A})^{\mathrm{T}}, \\ &\quad \quad \dots, ((\mathbf{J}{L_4} \mathbf{D}) \odot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \odot \mathbf{A})^{\mathrm{T}}]. \end{aligned} \tag{20} Xs=[((J1D)⊙C)(B⊙A)T,...,((JL4D)⊙C)(B⊙A)T].(20)
注意因子矩阵 D \mathbf{D} D 是范德蒙德矩阵，因此我们有
J l D = D K 4 D l ( D ) , (21) \mathbf{J}_l \mathbf{D} = \mathbf{D}^{K_4} D_l (\mathbf{D}) , \tag{21} JlD=DK4Dl(D),(21)
其中 D K 4 \mathbf{D}^{K_4} DK4 表示 D \mathbf{D} D 的前 K 4 K_4 K4 行。通过利用因子矩阵 D \mathbf{D} D 的范德蒙德结构，我们有
X s = [ ( D K 4 D 1 ( D ) ⊙ C ) ( B ⊙ A ) T , ... , ( D K 4 D L 4 ( D ) ⊙ C ) ( B ⊙ A ) T ] = ( D K 4 ⊙ C ) ( D L 4 ⊙ ( B ⊙ A ) ) T . (22) \begin{aligned} \mathbf{X}s &= [(\mathbf{D}^{K_4} D_1 (\mathbf{D}) \odot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \odot \mathbf{A})^{\mathrm{T}}, \\ &\quad \quad \dots, (\mathbf{D}^{K_4} D{L_4} (\mathbf{D}) \odot \mathbf{C}) (\mathbf{B} \odot \mathbf{A})^{\mathrm{T}}] \\ &= (\mathbf{D}^{K_4} \odot \mathbf{C}) (\mathbf{D}^{L_4} \odot (\mathbf{B} \odot \mathbf{A}))^{\mathrm{T}} . \end{aligned} \tag{22} Xs=[(DK4D1(D)⊙C)(B⊙A)T,...,(DK4DL4(D)⊙C)(B⊙A)T]=(DK4⊙C)(DL4⊙(B⊙A))T.(22)
已知 X s \mathbf{X}_s Xs 的结构，可以基于子空间分解方法恢复因子矩阵。基于不同路径的角度和多普勒频移不相等的假设，因子矩阵是列满秩的。假设路径数 L L L 已知 1 ^{1} 1，由 ( 22 ) (22) (22) 可知， X s \mathbf{X}_s Xs 的列空间由矩阵 ( D K 4 ⊙ C ) (\mathbf{D}^{K_4} \odot \mathbf{C}) (DK4⊙C) 的一组基向量构成。由于 D K 4 \mathbf{D}^{K_4} DK4 是范德蒙德矩阵， X s \mathbf{X}_s Xs 的列空间表现出旋转不变性，即
( D ‾ K 4 ⊙ C ) = ( D ‾ K 4 ⊙ C ) Z , (23) (\underline{\mathbf{D}}^{K_4} \odot \mathbf{C}) = (\overline{\mathbf{D}}^{K_4} \odot \mathbf{C}) \mathbf{Z}, \tag{23} (DK4⊙C)=(DK4⊙C)Z,(23)
其中 D ‾ K 4 \underline{\mathbf{D}}^{K_4} DK4 和 D ‾ K 4 \overline{\mathbf{D}}^{K_4} DK4 分别是去掉了最后一行和第一行的 D K 4 \mathbf{D}^{K_4} DK4， Z \mathbf{Z} Z 是一个对角矩阵，其对角线元素由因子 D \mathbf{D} D 的生成元给出， Z ≜ D ( [ e j 2 π f 1 d N slot T s , ... , e j 2 π f L d N slot T s ] T ) \mathbf{Z} \triangleq \operatorname{D} \left( \left[ e^{j2\pi f_1^d N_{\text{slot}} T_s}, \dots, e^{j2\pi f_L^d N_{\text{slot}} T_s} \right]^{\mathrm{T}} \right) Z≜D([ej2πf1dNslotTs,...,ej2πfLdNslotTs]T)。将 X s \mathbf{X}_s Xs 的奇异值分解 (SVD) 记为 X s = U Σ V H \mathbf{X}_s = \mathbf{U} \mathbf{\Sigma} \mathbf{V}^{\mathrm{H}} Xs=UΣVH，其中 U \mathbf{U} U、 Σ \mathbf{\Sigma} Σ 和 V \mathbf{V} V 分别是左奇异矩阵、奇异值矩阵和右奇异矩阵。注意左奇异矩阵 U \mathbf{U} U 是包含 ( D K 4 ⊙ C ) (\mathbf{D}^{K_4} \odot \mathbf{C}) (DK4⊙C) 基的 X s \mathbf{X}_s Xs 的列空间，因此存在一个满秩矩阵 M ∈ C L × L \mathbf{M} \in \mathbb{C}^{L \times L} M∈CL×L 使得
U : , 1 : L M = ( D K 4 ⊙ C ) . (24) \mathbf{U}_{:,1:L}\mathbf{M} = (\mathbf{D}^{K_4} \odot \mathbf{C}) . \tag{24} U:,1:LM=(DK4⊙C).(24)
然后，我们有
U 1 M = ( D ‾ K 4 ⊙ C ) , (25) \mathbf{U}_1 \mathbf{M} = (\underline{\mathbf{D}}^{K_4} \odot \mathbf{C}) , \tag{25} U1M=(DK4⊙C),(25) U 2 M = ( D ‾ K 4 ⊙ C ) = U 1 M Z , (26) \mathbf{U}_2 \mathbf{M} = (\overline{\mathbf{D}}^{K_4} \odot \mathbf{C}) = \mathbf{U}_1 \mathbf{M} \mathbf{Z} , \tag{26} U2M=(DK4⊙C)=U1MZ,(26)
其中
U 1 = [ U ] 1 : K ( K 4 − 1 ) , 1 : L ∈ C K ( K 4 − 1 ) × L , (27) \mathbf{U}1 = [\mathbf{U}]{1:K(K_4-1),1:L} \in \mathbb{C}^{K(K_4-1)\times L} , \tag{27} U1=[U]1:K(K4−1),1:L∈CK(K4−1)×L,(27) U 2 = [ U ] K + 1 : K K 4 , 1 : L ∈ C K ( K 4 − 1 ) × L . (28) \mathbf{U}2 = [\mathbf{U}]{K+1:KK_4,1:L} \in \mathbb{C}^{K(K_4-1)\times L} . \tag{28} U2=[U]K+1:KK4,1:L∈CK(K4−1)×L.(28)
利用性质 D ‾ K 4 = D ‾ K 4 Z \overline{\mathbf{D}}^{K_4} = \underline{\mathbf{D}}^{K_4} \mathbf{Z} DK4=DK4Z，通过结合 ( 25 ) (25) (25) 和 ( 26 ) (26) (26)，我们有
U 1 † U 2 = M Z M − 1 . (29) \mathbf{U}_1^{\dagger} \mathbf{U}_2 = \mathbf{M} \mathbf{Z} \mathbf{M}^{-1} . \tag{29} U1†U2=MZM−1.(29)
根据矩阵相似对角化原理，我们有 U 1 † U 2 = P Λ P − 1 \mathbf{U}_1^{\dagger} \mathbf{U}_2 = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1} U1†U2=PΛP−1，其中 d ( Λ ) = Π d ( Z ) \operatorname{d}(\mathbf{\Lambda}) = \mathbf{\Pi} \operatorname{d}(\mathbf{Z}) d(Λ)=Πd(Z)，且 P = M Δ Π \mathbf{P} = \mathbf{M} \mathbf{\Delta} \mathbf{\Pi} P=MΔΠ 与 M \mathbf{M} M 相似， Π \mathbf{\Pi} Π 是置换矩阵， Δ \mathbf{\Delta} Δ 是对角缩放模糊矩阵。因此，我们可以计算 U 1 † U 2 \mathbf{U}_1^{\dagger} \mathbf{U}_2 U1†U2 的特征值分解 (EVD) P Λ P − 1 \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^{-1} PΛP−1 来估计 Z \mathbf{Z} Z 中的元素。从 U 1 † U 2 \mathbf{U}_1^{\dagger} \mathbf{U}_2 U1†U2 的 EVD 中，我们可以从对角矩阵 Z \mathbf{Z} Z 中估计 D \mathbf{D} D 的生成元，从而恢复带有模糊性的因子 D \mathbf{D} D 为
D ^ = D Π . (30) \hat{\mathbf{D}} = \mathbf{D} \mathbf{\Pi} . \tag{30} D^=DΠ.(30)
接下来，我们根据恢复的带有置换模糊性的 D \mathbf{D} D 和特征向量 P \mathbf{P} P 恢复因子矩阵 C \mathbf{C} C。利用相似性 P = M Δ Π \mathbf{P} = \mathbf{M} \mathbf{\Delta} \mathbf{\Pi} P=MΔΠ，我们有
U P = U M Δ Π = ( D K 4 Π ⊙ C Π Δ ) = ( D ^ K 4 ⊙ C ^ ) , (31) \begin{aligned} \mathbf{U} \mathbf{P} &= \mathbf{U} \mathbf{M} \mathbf{\Delta} \mathbf{\Pi} \\ &= (\mathbf{D}^{K_4} \mathbf{\Pi} \odot \mathbf{C} \mathbf{\Pi} \mathbf{\Delta}) \\ &= (\hat{\mathbf{D}}^{K_4} \odot \hat{\mathbf{C}}) , \end{aligned} \tag{31} UP=UMΔΠ=(DK4Π⊙CΠΔ)=(D^K4⊙C^),(31)
( A ⊙ B ) Π Δ = ( A Π ⊙ B Π Δ ) (\mathbf{A} \odot \mathbf{B}) \mathbf{\Pi} \mathbf{\Delta} = (\mathbf{A}\mathbf{\Pi} \odot \mathbf{B}\mathbf{\Pi}\mathbf{\Delta}) (A⊙B)ΠΔ=(AΠ⊙BΠΔ)
其中 D ^ K 4 \widehat{\mathbf{D}}^{K_4} D K4 和 C ^ \widehat{\mathbf{C}} C 分别对应于带有置换模糊的 D K 1 \mathbf{D}^{K_1} DK1 以及带有置换和缩放模糊的 C \mathbf{C} C。因此，我们有
U P : , l = ( d ^ l K 4 ⊗ c ^ l ) , (32) \mathbf{U}\mathbf{P}_{:,l} = \left( \widehat{\mathbf{d}}_l^{K_4} \otimes \widehat{\mathbf{c}}_l \right) , \tag{32} UP:,l=(d lK4⊗c l),(32)
并且 c ^ l \widehat{\mathbf{c}}_l c l 可以利用 LS 估计来估算
c ^ l = ( d ^ l K 4 ) H ⊗ I K ( d ^ l K 4 ) H d ^ l K 4 U p l . (33) \widehat{\mathbf{c}}_l = \frac{\left( \widehat{\mathbf{d}}_l^{K_4} \right)^{\mathrm{H}} \otimes \mathbf{I}_K}{\left( \widehat{\mathbf{d}}_l^{K_4} \right)^{\mathrm{H}} \widehat{\mathbf{d}}_l^{K_4}} \mathbf{U}\mathbf{p}_l . \tag{33} c l=(d lK4)Hd lK4(d lK4)H⊗IKUpl.(33)
1 ^1 1 一般来说，毫米波通信中的传播路径数量是未知的。通常使用最小描述长度 (MDL) 准则通过分析张量秩来确定这一点，详见 [35]。为了简洁起见，我们假设已经应用了 MDL 算法，并且信道路径的数量已经确定。