1、余弦相似度的公式及核心解释
一、核心公式（向量形式，纯文本兼容版）
余弦相似度用于衡量两个非零向量在空间中的方向相似性，公式定义如下：
对于两个 n 维向量 A = (a₁, a₂, ..., aₙ) 和 B = (b₁, b₂, ..., bₙ)，余弦相似度 cos(θ) 为：
cos(θ) = (A·B) / (||A|| × ||B||)
二、公式拆解说明（纯文本分步呈现）
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分子：向量点积（内积）
向量 A 和 B 的点积计算：
A·B = a₁×b₁ + a₂×b₂ + ... + aₙ×bₙ = Σ（从 i=1 到 n）aᵢ×bᵢ
（注：Σ 表示求和，即所有对应维度元素相乘后累加）
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分母：向量模长的乘积
- 向量 A 的模长（向量的长度）：
||A|| = √(a₁² + a₂² + ... + aₙ²) = √[Σ（从 i=1 到 n）aᵢ²] - 向量 B 的模长：
||B|| = √(b₁² + b₂² + ... + bₙ²) = √[Σ（从 i=1 到 n）bᵢ²]
（注：√ 表示平方根，分母作用是归一化，消除向量长度对结果的影响）
- 向量 A 的模长（向量的长度）：
三、关键特性与适用场景
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取值范围：cos(θ) ∈ [-1, 1]
- cos(θ) = 1：两向量方向完全一致（相似度最高）；
- cos(θ) = 0：两向量垂直（无方向相关性）；
- cos(θ) = -1：两向量方向完全相反（相似度最低）。
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核心优势 ：
不依赖向量"长度"，仅关注"方向"。例如：向量 (1,2,3) 和 (2,4,6)（长度不同但方向一致）的余弦相似度为 1，而欧氏距离会因长度差异显示为非零值。
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典型应用：
- 文本相似度计算（词向量、句子嵌入对比）；
- 图像特征匹配（如SIFT、CNN特征向量相似性判断）；
- 推荐系统（用户偏好与物品特征向量匹配）；
- 大模型语义相似度衡量（Embedding向量对比）。
四、面试延伸考点
- 与欧氏距离的区别：欧氏距离关注"向量空间绝对距离"，余弦相似度关注"方向一致性"；高维场景（如大模型Embedding）中，余弦相似度对长度不敏感的特性更优。
- 优化计算：若向量已归一化（模长=1），余弦相似度可直接简化为点积（A·B），降低计算复杂度（大模型工程落地常用此优化）。
2、牛顿迭代法：通俗解析 + 实战场景
一、核心思想：用"切线"逼近方程的根
牛顿迭代法是求解方程 ( f(x) = 0 ) 根的高效数值方法 ，本质是用函数在某点的切线替代曲线，通过迭代让近似根不断逼近真实根------好比从山坡上沿最陡的切线方向往下走，几步就能到谷底（方程的根）。
二、核心公式（CSDN兼容LaTeX）
1. 迭代递推公式
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
其中：
- ( x_n )：第( n )次迭代的近似根；
- ( x_{n+1} )：第( n+1 )次迭代的近似根（更接近真实解）；
- ( f(x_n) )：函数( f(x) )在( x_n )处的函数值；
- ( f'(x_n) )：函数( f(x) )在( x_n )处的一阶导数值（切线斜率）。
2. 多项式函数导数公式
若 ( f(x) = a_kx^k + a_{k-1}x^{k-1} + \dots + a_1x + a_0 )，则导数为：
f′(x)=kakxk−1+(k−1)ak−1xk−2+⋯+a1f'(x) = ka_kx^{k-1} + (k-1)a_{k-1}x^{k-2} + \dots + a_1f′(x)=kakxk−1+(k−1)ak−1xk−2+⋯+a1
三、实战例子：用牛顿法求( \sqrt{2} )（解方程( f(x) = x^2 - 2 = 0 )）
目标：找到( x )使得( x^2 - 2 = 0 )，即( x = \sqrt{2} \approx 1.4142 )。
步骤1：确定函数与导数
函数：( f(x) = x^2 - 2 )
导数：( f'(x) = 2x )
步骤2：给定初始值( x_0 = 1 )
步骤3：迭代计算
- 第1次迭代：
x1=1−12−22×1=1−−12=1.5x_1 = 1 - \frac{1^2 - 2}{2 \times 1} = 1 - \frac{-1}{2} = 1.5x1=1−2×112−2=1−2−1=1.5 - 第2次迭代：
x2=1.5−1.52−22×1.5=1.5−0.253≈1.4167x_2 = 1.5 - \frac{1.5^2 - 2}{2 \times 1.5} = 1.5 - \frac{0.25}{3} \approx 1.4167x2=1.5−2×1.51.52−2=1.5−30.25≈1.4167 - 第3次迭代：
x3=1.4167−1.41672−22×1.4167≈1.4167−0.0072.8334≈1.4142x_3 = 1.4167 - \frac{1.4167^2 - 2}{2 \times 1.4167} \approx 1.4167 - \frac{0.007}{2.8334} \approx 1.4142x3=1.4167−2×1.41671.41672−2≈1.4167−2.83340.007≈1.4142
仅3次迭代就精准逼近( \sqrt{2} )，体现牛顿法二阶收敛优势（误差按平方级减小）。
四、适用场景（结合实际工作）
- 计算器/编程语言数值计算
求平方根、自然对数、三角函数等，本质是解非线性方程：
- 求( \ln 3 )（解方程( f(x) = e^x - 3 = 0 )），迭代公式：
xn+1=xn−exn−3exnx_{n+1} = x_n - \frac{e^{x_n} - 3}{e^{x_n}}xn+1=xn−exnexn−3
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机器学习：参数优化
逻辑回归最小化损失函数( L(\theta) )，等价于求解( L'(\theta) = 0 )，迭代公式：
θn+1=θn−L′(θn)L′′(θn)\theta_{n+1} = \theta_n - \frac{L'(\theta_n)}{L''(\theta_n)}θn+1=θn−L′′(θn)L′(θn)其中( L''(\theta_n) )是损失函数的二阶导数（海森矩阵），收敛速度远快于梯度下降（适合小样本、低维模型）。
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工程设计：非线性问题求解
- 二极管电流-电压关系（( I = I_0(e^{U/U_T} - 1) )），已知( I )求( U )的迭代公式：
Un+1=Un−I0(eUn/UT−1)−II0⋅eUn/UT/UTU_{n+1} = U_n - \frac{I_0(e^{U_n/U_T} - 1) - I}{I_0 \cdot e^{U_n/U_T}/U_T}Un+1=Un−I0⋅eUn/UT/UTI0(eUn/UT−1)−I - 机械结构受力平衡：求解含非线性形变的方程，牛顿法可快速得到工程解。
五、适用条件（面试核心考点）
- 函数( f(x) )在根附近连续且二阶可导；
- 初始值( x_0 )需靠近真实根（否则可能发散，如( x_0 = 100 )求( \sqrt{2} )会增加迭代步数）；
- 迭代中( f'(x_n) \neq 0 )（分母不为0，避免切线平行于x轴）；
- 单根（( f(x^) = 0 )且( f'(x^ ) \neq 0 )）时二阶收敛；重根（如( f(x) = (x-1)^2 = 0 )）需修正公式：
xn+1=xn−k⋅f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - k \cdot \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1=xn−k⋅f′(xn)f(xn)
其中( k )为重根数（此处( k=2 )）。
六、总结
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- 核心公式（必记）：
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)}xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
- 核心公式（必记）：
- 适用场景：计算器数值计算、机器学习小样本参数优化、工程非线性方程求解；
- 关键条件：函数可导、初始值靠近真实根、导数非零；
- 优势与局限：收敛快（二阶），但对初始值敏感、高维场景（如大模型）计算二阶导数成本高。