洛必达法则
洛必达法则是一种专门用于求解 未定式极限 的方法，其原理是上一节提到的 柯西中值定理，而柯西中值定理定理是基于罗尔定理的构造性定理，所以说洛必达法则的原理是罗尔定理也没问题。
接下来介绍什么是 未定式极限，未定式中的未定指的是极限看上去是不确定的，式指的是分式。
未定式
设函数 f(x)f(x)f(x) 在 x→ax\rarr ax→a 或无穷时极限为 000，函数 g(x)g(x)g(x) 在 x→ax\rarr ax→a 或无穷时极限为 000，那么 limx→0f(x)g(x)\lim_{x\rarr 0}\frac{f(x)}{g(x)}limx→0g(x)f(x) 就被称为 00\frac{0}{0}00 型未定式，即我们通过代入值无法得到极限的式子。 同理，若 f(x),g(x)f(x),g(x)f(x),g(x) 在 x→ax\rarr ax→a 或无穷时极限为无穷，limx→0f(x)g(x)\lim_{x\rarr 0}\frac{f(x)}{g(x)}limx→0g(x)f(x) 被称为 ∞∞\frac{\infin}{\infin}∞∞ 型未定式。
洛必达法则内容
洛必达法则适用于求 00\frac{0}{0}00 型和 ∞∞\frac{\infin}{\infin}∞∞ 型的未定式，我们先讨论 00\frac{0}{0}00 的情况，讨论完之后，对于 ∞∞\frac{\infin}{\infin}∞∞ 的情况，我们可以等价于求 1∞1∞\frac{\frac{1}{\infin}}{\frac{1}{\infin}}∞1∞1 的未定式，即我们可以手动转化为 00\frac{0}{0}00 型的未定式。
下面阐述 00\frac{0}{0}00 型未定式的洛必达法则的应用场景：
- 当 x→ax\rarr ax→a 时，limx→af(x)g(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f(x)}{g(x)}limx→ag(x)f(x) 是 00\frac{0}{0}00 型未定式。
- 在 aaa 的某点去心邻域内，f′(x)f'(x)f′(x) 和 g′(x)g'(x)g′(x) 存在。
- limx→af′(x)g′(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag′(x)f′(x) 不是不定式。
此时 limx→af(x)g(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f(x)}{g(x)}limx→ag(x)f(x) 取决于 limx→af′(x)g′(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag′(x)f′(x)。
解释
首先第一点强调了，运用洛必达法则的函数，必须是未定式。因为函数的极限取决于其分别的导数的极限，说明分别的导数必须在该点存在，因为函数要在某点有导数，必须要在该点的某个邻域内有定义，但我们并不是要求 aaa 处的导数，而是求自变量趋于 aaa 时的导数。所以其实在 aaa 处有没有定义都是无所谓的。
如果 limx→af′(x)g′(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag′(x)f′(x) 不是未定式，那么 limx→af(x)g(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f(x)}{g(x)}limx→ag(x)f(x) 就取决于 limx→af′(x)g′(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag′(x)f′(x)，如果 limx→af′(x)g′(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag′(x)f′(x) 也不存在，那么要看是什么情况，不存在有很多种情况，比如趋于无穷、振荡、左右极限不相等，其中只有趋于无穷才能用洛必达，其他的情况均因不能确定变化趋势所以不能用洛必达。
这是因为洛必达的原理是柯西中值定理，根据条件 222，我们只保证了 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 在 aaa 的去心邻域内是连续可导的，但 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 在 aaa 处的极限都是 000，所以我们可以在 aaa 处虚构一个定义 000，故 f(x)f(x)f(x) 和 g(x)g(x)g(x) 就在 aaa 处是连续的。
于是可以先以 aaa 为区间右端点，以 xxx 为区间左端点，此时 [x,a][x,a][x,a] 是连续的，且 (x,a)(x,a)(x,a) 可导，故根据柯西中值定理，存在一个 ξ∈(x,a)\xi\in(x,a)ξ∈(x,a)，使得
f(x)−f(a)g(x)−g(a)=f(x)−0g(x)−0=f′(ξ)g′(ξ) \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f(x)-0}{g(x)-0}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} g(x)−g(a)f(x)−f(a)=g(x)−0f(x)−0=g′(ξ)f′(ξ)
成立。
当 x→ax\rarr ax→a 时，则有 limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)\lim_{x\rarr a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rarr a}\frac{f'(x)}{g'(x)}limx→ag(x)f(x)=limx→ag′(x)f′(x)，所以要想使得这个等式成立，必须要保证右端可以被套上极限符号，即等式右端的极限是存在的，或者说是趋于无穷的。