目录
题目-维护序列
问题分析
三个操作
- 区间整体乘一个数字
- 区间整体加一个数字
- 查询区间的和
线段树需要记录的属性
- 节点的左右边界
- a d d add add, s u m sum sum, 代表加法的延迟标记, 和区间和
- m u l mul mul乘法的延迟标记
但是延迟标记是有更新顺序的, 可以做如下假设, 假设当前考虑的区间是 [ l , r ] [l, r] [l,r], 加法标记是 a d d add add, 乘法标记是 m u l mul mul
如果对于区间中每个数字 先做加法再做加法, 假设区间中某个数字是 x x x, 那么有
( x + a d d ) ⋅ m u l (x + add) \cdot mul (x+add)⋅mul
此时, 父节点加法延迟标记下传, 假设是 t t t, 很难在原数字基础上加 t t t, 得到下面的式子(除非 m u l mul mul能整除 t t t)
( x + t + a d d ) ⋅ m u l (x + t + add) \cdot mul (x+t+add)⋅mul
但是假设先做乘法再做加法 有
x ⋅ m u l + a d d x \cdot mul + add x⋅mul+add
(1)此时, 父节点加法延迟标记下传, 假设是 t t t
x ⋅ m u l + a d d + t x \cdot mul + add + t x⋅mul+add+t
只需要将 a d d = a d d + t add = add + t add=add+t, 很容易得到新的 x x x
(2)再讨论, 父节点的乘法延迟标记下传, 假设是 c c c
( x ⋅ m u l + a d d ) ⋅ c (x \cdot mul + add) \cdot c (x⋅mul+add)⋅c
只需要将原 m u l = m u l ⋅ c mul = mul \cdot c mul=mul⋅c, a d d = a d d ⋅ c add = add \cdot c add=add⋅c, 就能实现乘法延迟标记更新
因此对于延迟标记的更新, 我们认为的规定先更新乘法延迟标记再更新加法延迟标记
具体的来说假设当前节点的加法延迟标记是 a a a, 乘法延迟标记是 b b b, 父节点向下传递的加法标记是 c c c, 乘法标记是 d d d, 那么有
( x ⋅ b + a ) ⋅ d + c = x ⋅ b d + a d + c (x \cdot b + a) \cdot d + c = x \cdot bd +ad + c (x⋅b+a)⋅d+c=x⋅bd+ad+c
那么新的加法延迟标记是 a d + c ad + c ad+c, 新的乘法延迟标记是 b d bd bd
算法步骤
- 实现
push up操作 - 实现先计算乘法再计算加法的延迟标记更新函数
push down - 实现区间修改操作, 当递归到子区间的时候, 直接调用
push down对当前区间进行修改 - 实现区间查询
代码实现
cpp
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 10;
int n, m, p;
int w[N];
struct Node {
int l, r;
LL sum, add, mul;
} tr[N << 2];
void pushup(int u) {
tr[u].sum = (tr[u << 1].sum + tr[u << 1 | 1].sum) % p;
}
void pushdown(Node &u, LL add, LL mul) {
u.sum = (u.sum * mul + (u.r - u.l + 1) * add % p) % p;
u.add = (u.add * mul % p + add) % p;
u.mul = u.mul * mul % p;
}
void pushdown(int u) {
pushdown(tr[u << 1], tr[u].add, tr[u].mul);
pushdown(tr[u << 1 | 1], tr[u].add, tr[u].mul);
tr[u].add = 0, tr[u].mul = 1;
}
void build(int u, int l, int r) {
if (l == r) {
tr[u] = {l, r, w[l], 0, 1};
return;
}
tr[u] = {l, r, 0, 0, 1};
int mid = l + r >> 1;
build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1, r);
pushup(u);
}
void modify(int u, int ql, int qr, LL add, LL mul) {
if (tr[u].l >= ql && tr[u].r <= qr) {
pushdown(tr[u], add, mul);
return;
}
pushdown(u);
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (ql <= mid) modify(u << 1, ql, qr, add, mul);
if (qr > mid) modify(u << 1 | 1, ql, qr, add, mul);
pushup(u);
}
LL query(int u, int ql, int qr) {
if (tr[u].l >= ql && tr[u].r <= qr) return tr[u].sum;
pushdown(u);
LL ans = 0;
int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
if (ql <= mid) ans = (ans + query(u << 1, ql, qr)) % p;
if (qr > mid) ans = (ans + query(u << 1 | 1, ql, qr)) % p;
pushup(u);
return ans;
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cin >> n >> p;
for (int i = 1; i <= n; ++i) cin >> w[i];
build(1, 1, n);
cin >> m;
while (m--) {
int c;
cin >> c;
if (c == 1) {
int l, r, val;
cin >> l >> r >> val;
modify(1, l, r, 0, val);
}
else if (c == 2) {
int l, r, val;
cin >> l >> r >> val;
modify(1, l, r, val, 1);
}
else {
int l, r;
cin >> l >> r;
cout << query(1, l, r) % p << '\n';
}
}
return 0;
}