- a. 若方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 有平凡解，则矩阵 AAA 的各列线性无关。
解答 ：
齐次方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 总是有平凡解（即 x=0\mathbf{x} = \mathbf{0}x=0），但矩阵各列线性无关当且仅当方程只有 平凡解。命题中"有平凡解"这一条件不排除存在非平凡解的可能性，因此不能推出各列线性无关。例如，考虑矩阵 A=[1224]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}A=[1224]，方程 Ax=0A\mathbf{x} = \mathbf{0}Ax=0 有平凡解，但各列线性相关（第二列是第一列的 2 倍）。
结论 ：
命题为假。
- b. 若 SSS 是线性相关集，则 SSS 中每个向量是其他向量的线性组合。
解答 ：
线性相关集仅要求存在至少一个向量可表示为其他向量的线性组合，而非每个向量都满足此性质。例如，设 S={[10],[00]}S = \left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}S={[10],[00]}，SSS 线性相关（因包含零向量），但 [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}[10] 不能表示为 [00]\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}[00] 的线性组合（任何标量倍仍为零向量）。
结论 ：
命题为假。
- c. 任意 4×54 \times 54×5 矩阵的各列线性相关。
解答 ：
4×54 \times 54×5 矩阵有 5 个列向量，每个向量属于 R4\mathbb{R}^4R4（4 维空间）。根据定理 8（向量个数超过空间维数时必线性相关），因 5>45 > 45>4，故任意 5 个 4 维向量均线性相关。
结论 ：
命题为真。
- d. 若 x\mathbf{x}x 和 y\mathbf{y}y 线性无关，而 {x,y,z}\{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\}{x,y,z} 线性相关，则 z\mathbf{z}z 属于 Span{x,y}\text{Span}\{\mathbf{x}, \mathbf{y}\}Span{x,y}。
解答 ：
因 {x,y,z}\{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}\}{x,y,z} 线性相关，存在不全为零的标量 a,b,ca, b, ca,b,c 使得 ax+by+cz=0a\mathbf{x} + b\mathbf{y} + c\mathbf{z} = \mathbf{0}ax+by+cz=0。若 c=0c = 0c=0，则 ax+by=0a\mathbf{x} + b\mathbf{y} = \mathbf{0}ax+by=0，但 x,y\mathbf{x}, \mathbf{y}x,y 线性无关，故 a=b=0a = b = 0a=b=0，与不全为零矛盾。因此 c≠0c \neq 0c=0，可解出 z=−acx−bcy\mathbf{z} = -\frac{a}{c}\mathbf{x} - \frac{b}{c}\mathbf{y}z=−cax−cby，即 z∈Span{x,y}\mathbf{z} \in \text{Span}\{\mathbf{x}, \mathbf{y}\}z∈Span{x,y}。
结论 ：
命题为真。
- a. 两个向量是线性相关的当且仅当它们位于过原点的一条直线上。
解答 ：
在几何上，两个向量线性相关当且仅当它们平行（即标量倍关系），这等价于它们位于同一条过原点的直线上。例如，u=[12]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}u=[12] 和 v=[24]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \end{bmatrix}v=[24] 位于直线 y=2xy = 2xy=2x 上，且线性相关；若 u=[10]\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}u=[10] 和 v=[01]\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}v=[01] 不共线，则线性无关。
结论 ：
命题为真。
- b. 某个向量组的向量个数少于每个向量所含元素个数，则向量组线性无关。
解答 ：
向量个数少于维数是线性无关的必要非充分 条件。例如，在 R3\mathbb{R}^3R3 中，向量组 {[1−23],[2−46]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ -4 \\ 6 \end{bmatrix} \right\}⎩ ⎨ ⎧ 1−23 , 2−46 ⎭ ⎬ ⎫ 有 2 个向量（少于维数 3），但第二向量是第一向量的 2 倍，故线性相关。
结论 ：
命题为假。
- c. 若 u\mathbf{u}u 和 v\mathbf{v}v 线性无关，而 w\mathbf{w}w 属于 Span{u,v}\text{Span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}Span{u,v}，则 {u,v,w}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}{u,v,w} 线性相关。
解答 ：
因 w∈Span{u,v}\mathbf{w} \in \text{Span}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}\}w∈Span{u,v}，存在标量 a,ba, ba,b 使得 w=au+bv\mathbf{w} = a\mathbf{u} + b\mathbf{v}w=au+bv。则 au+bv−w=0a\mathbf{u} + b\mathbf{v} - \mathbf{w} = \mathbf{0}au+bv−w=0 是非平凡线性组合（系数 a,b,−1a, b, -1a,b,−1 不全为零），故 {u,v,w}\{\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}\}{u,v,w} 线性相关。
结论 ：
命题为真。
- d. 若 Rn\mathbb{R}^nRn 中一个向量组线性相关，则此向量组包含的向量个数大于每个向量的元素个数。
解答 ：
线性相关不要求向量个数大于维数 。例如，在 R2\mathbb{R}^2R2 中，向量组 {[10],[20]}\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} \right\}{[10],[20]} 线性相关（个数 2 等于维数 2），但个数不大于维数。命题的逆命题成立（个数 > 维数 ⇒ 线性相关），但原命题不成立。
结论 ：
命题为假。
- 给出矩阵可能的阶梯型。AAA 是 3×33 \times 33×3 矩阵，各列线性无关。
解答 ：
当矩阵各列线性无关时，其阶梯形必须包含 3 个主元（每列一个主元）。可能的阶梯形为：
■∗∗0■∗00■\] \\begin{bmatrix} \\blacksquare \& \* \& \* \\\\ 0 \& \\blacksquare \& \* \\\\ 0 \& 0 \& \\blacksquare \\end{bmatrix} ■00∗■0∗∗■ 其中 ■\\blacksquare■ 表示主元（非零元素），∗\*∗ 表示任意元素。 **结论** ： 阶梯形为 \[■∗∗0■∗00■\]\\begin{bmatrix} \\blacksquare \& \* \& \* \\\\ 0 \& \\blacksquare \& \* \\\\ 0 \& 0 \& \\blacksquare \\end{bmatrix} ■00∗■0∗∗■ 。 *** ** * ** *** > 24. 给出矩阵可能的阶梯型。AAA 是 2×22 \\times 22×2 矩阵，两列线性相关。 **解答** ： 当两列线性相关时，阶梯形中主元个数少于 2。可能的阶梯形为： \[■∗00\],\[0■00\],\[0000\] \\begin{bmatrix} \\blacksquare \& \* \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix},\\quad \\begin{bmatrix} 0 \& \\blacksquare \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix},\\quad \\begin{bmatrix} 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} \[■0∗0\],\[00■0\],\[0000
其中 ■\blacksquare■ 表示主元（非零元素），∗*∗ 表示任意元素。
结论 ：
阶梯形为 [■∗00]\begin{bmatrix} \blacksquare & * \\ 0 & 0 \end{bmatrix}[■0∗0]、[0■00]\begin{bmatrix} 0 & \blacksquare \\ 0 & 0 \end{bmatrix}[00■0] 或 [0000]\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}[0000]。
- 给出矩阵可能的阶梯型。AAA 是 4×24 \times 24×2 矩阵，A=[a1 a2]A = [\mathbf{a}_1\ \mathbf{a}_2]A=[a1 a2]，a2\mathbf{a}_2a2 不是 a1\mathbf{a}_1a1 的倍数。
解答 ：
因 a2\mathbf{a}_2a2 不是 a1\mathbf{a}_1a1 的倍数，两列线性无关，阶梯形必须有 2 个主元。可能的阶梯形为：
■∗0■0000\],\[0■000000\] \\begin{bmatrix} \\blacksquare \& \* \\\\ 0 \& \\blacksquare \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix},\\quad \\begin{bmatrix} 0 \& \\blacksquare \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} ■000∗■00 , 0000■000 其中 ■\\blacksquare■ 表示主元（非零元素），∗\*∗ 表示任意元素。 **结论** ： 阶梯形为 \[■∗0■0000\]\\begin{bmatrix} \\blacksquare \& \* \\\\ 0 \& \\blacksquare \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} ■000∗■00 或 \[0■000000\]\\begin{bmatrix} 0 \& \\blacksquare \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} 0000■000 。 *** ** * ** *** > 26. 给出矩阵可能的阶梯型。AAA 是 4×34 \\times 34×3 矩阵，A=\[a1 a2 a3\]A = \[\\mathbf{a}_1\\ \\mathbf{a}_2\\ \\mathbf{a}_3\]A=\[a1 a2 a3\]，{a1,a2}\\{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2\\}{a1,a2} 线性无关，a3\\mathbf{a}_3a3 不属于 Span{a1,a2}\\text{Span}\\{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2\\}Span{a1,a2}。 **解答** ： 因 {a1,a2}\\{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2\\}{a1,a2} 线性无关且 a3∉Span{a1,a2}\\mathbf{a}_3 \\notin \\text{Span}\\{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2\\}a3∈/Span{a1,a2}，三列线性无关，阶梯形必须有 3 个主元。可能的阶梯形为： \[■∗∗0■∗00■000\] \\begin{bmatrix} \\blacksquare \& \* \& \* \\\\ 0 \& \\blacksquare \& \* \\\\ 0 \& 0 \& \\blacksquare \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} ■000∗■00∗∗■0 根据定理 7，第一列非零，第二列不是第一列的倍数，第三列不是前两列的线性组合（因 a3∉Span{a1,a2}\\mathbf{a}_3 \\notin \\text{Span}\\{\\mathbf{a}_1, \\mathbf{a}_2\\}a3∈/Span{a1,a2}）。 **结论** ： 阶梯形为 \[■∗∗0■∗00■000\]\\begin{bmatrix} \\blacksquare \& \* \& \* \\\\ 0 \& \\blacksquare \& \* \\\\ 0 \& 0 \& \\blacksquare \\\\ 0 \& 0 \& 0 \\end{bmatrix} ■000∗■00∗∗■0 。 *** ** * ** *** > 27. 一 7×57 \\times 57×5 矩阵如果各列线性无关，则它有多少个主元列？为什么？ **解答** ： 设 AAA 为 7×57 \\times 57×5 矩阵，若各列线性无关，则齐次方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解。这意味着方程无自由变量，所有 5 个变量均为基本变量，故有 5 个主元列。 **结论** ： 有 5 个主元列。因为若存在自由变量，则列线性相关，与题设矛盾。 *** ** * ** *** > 28. 一 5×75 \\times 75×7 矩阵如果其列生成 R5\\mathbb{R}\^5R5，则它有多少个主元列？为什么？ **解答** ： 若 AAA 的列生成 R5\\mathbb{R}\^5R5，则对任意 b∈R5\\mathbf{b} \\in \\mathbb{R}\^5b∈R5，方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 有解。根据定理 4，AAA 的每一行必须有主元，故有 5 个主元（因 AAA 有 5 行）。每个主元位于不同列，因此有 5 个主元列。 **结论** ： 有 5 个主元列。因为列生成 R5\\mathbb{R}\^5R5 要求 AAA 有主元在每一行，且每主元位于不同列。 *** ** * ** *** > 29. 构造 3×23 \\times 23×2 矩阵 AAA 和 BBB，使 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解，Bx=0B\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Bx=0 有非平凡解。 **解答**： * **矩阵 AAA** ：需列线性无关。例如： A=\[100100\] A = \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} A= 100010 两列非零且不互为倍数，故 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解。 * **矩阵 BBB** ：需列线性相关。例如： B=\[120000\] B = \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix} B= 100200 第二列是第一列的 2 倍，故 Bx=0B\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Bx=0 有非平凡解（如 x1=−2,x2=1x_1 = -2, x_2 = 1x1=−2,x2=1）。 **结论** ： A=\[100100\]A = \\begin{bmatrix} 1 \& 0 \\\\ 0 \& 1 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix}A= 100010 （列线性无关），B=\[120000\]B = \\begin{bmatrix} 1 \& 2 \\\\ 0 \& 0 \\\\ 0 \& 0 \\end{bmatrix}B= 100200 （列线性相关）。 *** ** * ** *** > 30. a. 填空："若 AAA 是 m×nm \\times nm×n 矩阵，则 AAA 的各列线性无关，当且仅当 AAA 有 ______ 个主元列。" > b. 说明命题 (a) 为什么是真的。 **解答** ： a. 矩阵 AAA 的各列线性无关当且仅当齐次方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解。这等价于方程无自由变量，即所有 nnn 个变量均为基本变量，故 AAA 有 nnn 个主元列。 b. 证明： * 若各列线性无关，则 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解 ⇒\\Rightarrow⇒ 无自由变量 ⇒\\Rightarrow⇒ 每个变量是基本变量 ⇒\\Rightarrow⇒ 每列有主元 ⇒\\Rightarrow⇒ 有 nnn 个主元列。 * 若有 nnn 个主元列，则每列有主元 ⇒\\Rightarrow⇒ 无自由变量 ⇒\\Rightarrow⇒ Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解 ⇒\\Rightarrow⇒ 各列线性无关。 **结论** ： a. nnn b. 因为列线性无关 ⇔\\Leftrightarrow⇔ Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 仅有平凡解 ⇔\\Leftrightarrow⇔ 无自由变量 ⇔\\Leftrightarrow⇔ 每列有主元 ⇔\\Leftrightarrow⇔ 有 nnn 个主元列。 > 31. 给定 A=\[235−51−4−3−1−4101\]A = \\begin{bmatrix} 2 \& 3 \& 5 \\\\ -5 \& 1 \& -4 \\\\ -3 \& -1 \& -4 \\\\ 1 \& 0 \& 1 \\end{bmatrix}A= 2−5−3131−105−4−41 ，观察到第 3 列是前两列之和。求出 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 的一个非平凡解。 **解答** ： 将 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 写成列向量的线性组合： x1\[2−5−31\]+x2\[31−10\]+x3\[5−4−41\]=\[0000\] x_1 \\begin{bmatrix} 2 \\\\ -5 \\\\ -3 \\\\ 1 \\end{bmatrix} + x_2 \\begin{bmatrix} 3 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\end{bmatrix} + x_3 \\begin{bmatrix} 5 \\\\ -4 \\\\ -4 \\\\ 1 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} x1 2−5−31 +x2 31−10 +x3 5−4−41 = 0000 已知第 3 列是前两列之和，即 a3=a1+a2\\mathbf{a}_3 = \\mathbf{a}_1 + \\mathbf{a}_2a3=a1+a2。代入得： x1a1+x2a2+x3(a1+a2)=0 x_1\\mathbf{a}_1 + x_2\\mathbf{a}_2 + x_3(\\mathbf{a}_1 + \\mathbf{a}_2) = \\mathbf{0} x1a1+x2a2+x3(a1+a2)=0 整理为： (x1+x3)a1+(x2+x3)a2=0 (x_1 + x_3)\\mathbf{a}_1 + (x_2 + x_3)\\mathbf{a}_2 = \\mathbf{0} (x1+x3)a1+(x2+x3)a2=0 令系数为零： {x1+x3=0x2+x3=0⇒{x1=−x3x2=−x3 \\begin{cases} x_1 + x_3 = 0 \\\\ x_2 + x_3 = 0 \\end{cases} \\quad \\Rightarrow \\quad \\begin{cases} x_1 = -x_3 \\\\ x_2 = -x_3 \\end{cases} {x1+x3=0x2+x3=0⇒{x1=−x3x2=−x3 取 x3=−1x_3 = -1x3=−1，则 x1=1x_1 = 1x1=1，x2=1x_2 = 1x2=1。 **结论** ： 非平凡解为 x=\[11−1\]\\mathbf{x} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ -1 \\end{bmatrix}x= 11−1 。 *** ** * ** *** > 32. 给定 A=\[416−7539−33\]A = \\begin{bmatrix} 4 \& 1 \& 6 \\\\ -7 \& 5 \& 3 \\\\ 9 \& -3 \& 3 \\end{bmatrix}A= 4−7915−3633 ，观察到第 1 列加上第 2 列的两倍等于第 3 列。求出 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 的一个非平凡解。 **解答** ： 将 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 写成列向量的线性组合： x1\[4−79\]+x2\[15−3\]+x3\[633\]=\[000\] x_1 \\begin{bmatrix} 4 \\\\ -7 \\\\ 9 \\end{bmatrix} + x_2 \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 5 \\\\ -3 \\end{bmatrix} + x_3 \\begin{bmatrix} 6 \\\\ 3 \\\\ 3 \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix} x1 4−79 +x2 15−3 +x3 633 = 000 已知第 1 列加上第 2 列的两倍等于第 3 列，即 a1+2a2=a3\\mathbf{a}_1 + 2\\mathbf{a}_2 = \\mathbf{a}_3a1+2a2=a3。移项得： a1+2a2−a3=0 \\mathbf{a}_1 + 2\\mathbf{a}_2 - \\mathbf{a}_3 = \\mathbf{0} a1+2a2−a3=0 对比线性组合形式 x1a1+x2a2+x3a3=0x_1\\mathbf{a}_1 + x_2\\mathbf{a}_2 + x_3\\mathbf{a}_3 = \\mathbf{0}x1a1+x2a2+x3a3=0，直接对应系数： x1=1, x2=2, x3=−1 x_1 = 1,\\ x_2 = 2,\\ x_3 = -1 x1=1, x2=2, x3=−1 **结论** ： 非平凡解为 x=\[12−1\]\\mathbf{x} = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 2 \\\\ -1 \\end{bmatrix}x= 12−1 。 > 33. 若 v1,...,v4v_1, \\ldots, v_4v1,...,v4 属于 R4\\mathbb{R}\^4R4，v3=2v1+v2v_3 = 2v_1 + v_2v3=2v1+v2，则 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 线性相关。 **解答** ： 已知 v3=2v1+v2v_3 = 2v_1 + v_2v3=2v1+v2，移项得 2v1+v2−v3=02v_1 + v_2 - v_3 = 02v1+v2−v3=0。这是一个非平凡线性组合（系数 2,1,−12, 1, -12,1,−1 不全为零），表明 {v1,v2,v3}\\{v_1, v_2, v_3\\}{v1,v2,v3} 线性相关。根据定理 7，若向量组的一个子集线性相关，则整个向量组也线性相关。因此 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 线性相关。 **结论** ： 命题为真。 *** ** * ** *** > 34. 若 v1,...,v4v_1, \\ldots, v_4v1,...,v4 属于 R4\\mathbb{R}\^4R4，且 v3=0v_3 = 0v3=0，则 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 线性相关。 **解答** ： 向量组包含零向量 v3=0v_3 = 0v3=0。根据定理 9，任何包含零向量的向量组都线性相关，因为存在非平凡线性组合 0⋅v1+0⋅v2+1⋅v3+0⋅v4=00 \\cdot v_1 + 0 \\cdot v_2 + 1 \\cdot v_3 + 0 \\cdot v_4 = 00⋅v1+0⋅v2+1⋅v3+0⋅v4=0。 **结论** ： 命题为真。 *** ** * ** *** > 35. 若 v1v_1v1 与 v2v_2v2 属于 R4\\mathbb{R}\^4R4，v2v_2v2 不是 v1v_1v1 的倍数，则 {v1,v2}\\{v_1, v_2\\}{v1,v2} 线性无关。 **解答** ： 考虑反例：令 v1=\[0000\]v_1 = \\begin{bmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}v1= 0000 （零向量），v2=\[1000\]v_2 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}v2= 1000 。此时 v2v_2v2 不是 v1v_1v1 的倍数（因零向量的任何倍数仍为零向量），但 {v1,v2}\\{v_1, v_2\\}{v1,v2} 线性相关（因包含零向量）。 **结论** ： 命题为假。反例：v1=0v_1 = \\mathbf{0}v1=0，v2≠0v_2 \\neq \\mathbf{0}v2=0。 *** ** * ** *** > 36. 若 v1,v2,v3,v4v_1, v_2, v_3, v_4v1,v2,v3,v4 属于 R4\\mathbb{R}\^4R4，而 v3v_3v3 不是 v1,v2,v4v_1, v_2, v_4v1,v2,v4 的线性组合，则 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 线性无关。 **解答** ： 考虑反例：令 v1=\[1111\], v2=\[2222\], v3=\[1000\], v4=\[4444\] v_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix},\\ v_2 = \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\end{bmatrix},\\ v_3 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix},\\ v_4 = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\end{bmatrix} v1= 1111 , v2= 2222 , v3= 1000 , v4= 4444 * v3v_3v3 不是 v1,v2,v4v_1, v_2, v_4v1,v2,v4 的线性组合（因 v1,v2,v4v_1, v_2, v_4v1,v2,v4 均为 \[1111\]\\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix} 1111 的倍数，而 v3v_3v3 不是）。 * 但 {v1,v2,v4}\\{v_1, v_2, v_4\\}{v1,v2,v4} 线性相关（因 v2=2v1v_2 = 2v_1v2=2v1，v4=4v1v_4 = 4v_1v4=4v1），故整个向量组 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 线性相关。 **结论** ： 命题为假。反例：v1=\[1111\]v_1 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\end{bmatrix}v1= 1111 , v2=\[2222\]v_2 = \\begin{bmatrix} 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\\\ 2 \\end{bmatrix}v2= 2222 , v3=\[1000\]v_3 = \\begin{bmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\end{bmatrix}v3= 1000 , v4=\[4444\]v_4 = \\begin{bmatrix} 4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\\\ 4 \\end{bmatrix}v4= 4444 。 *** ** * ** *** > 37. 若 v1,...,v4v_1, \\ldots, v_4v1,...,v4 属于 R4\\mathbb{R}\^4R4，{v1,v2,v3}\\{v_1, v_2, v_3\\}{v1,v2,v3} 线性相关，则 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 也线性相关。 **解答** ： 因 {v1,v2,v3}\\{v_1, v_2, v_3\\}{v1,v2,v3} 线性相关，存在不全为零的标量 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 使得 c1v1+c2v2+c3v3=0c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0c1v1+c2v2+c3v3=0。构造 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 的线性组合： c1v1+c2v2+c3v3+0⋅v4=0 c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 + 0 \\cdot v_4 = 0 c1v1+c2v2+c3v3+0⋅v4=0 此组合非平凡（因 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 不全为零），故 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 线性相关。 **结论** ： 命题为真。 *** ** * ** *** > 38. 若 v1,...,v4v_1, \\ldots, v_4v1,...,v4 是 R4\\mathbb{R}\^4R4 中线性无关向量，则 {v1,v2,v3}\\{v_1, v_2, v_3\\}{v1,v2,v3} 也线性无关。 **解答** ： 假设 {v1,v2,v3}\\{v_1, v_2, v_3\\}{v1,v2,v3} 线性相关，则存在不全为零的标量 c1,c2,c3c_1, c_2, c_3c1,c2,c3 使得 c1v1+c2v2+c3v3=0c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 = 0c1v1+c2v2+c3v3=0。构造 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 的线性组合： c1v1+c2v2+c3v3+0⋅v4=0 c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3 + 0 \\cdot v_4 = 0 c1v1+c2v2+c3v3+0⋅v4=0 此组合非平凡，与 {v1,v2,v3,v4}\\{v_1, v_2, v_3, v_4\\}{v1,v2,v3,v4} 线性无关矛盾。因此 {v1,v2,v3}\\{v_1, v_2, v_3\\}{v1,v2,v3} 必线性无关。 **结论** ： 命题为真。 > 39. 设 AAA 是 m×nm \\times nm×n 矩阵，且对 Rm\\mathbb{R}\^mRm 中所有 b\\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 至多只有一个解。应用线性无关的定义说明 AAA 的各列必定线性无关。 **解答**： 1. 由题设，对任意 b∈Rm\\mathbf{b} \\in \\mathbb{R}\^mb∈Rm，方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 至多有一个解。 2. 特别地，取 b=0\\mathbf{b} = \\mathbf{0}b=0，则方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 至多有一个解。 3. 但齐次方程 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 总有平凡解 x=0\\mathbf{x} = \\mathbf{0}x=0，因此 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 **只有**平凡解。 4. 根据线性无关的定义，矩阵 AAA 的列向量线性无关当且仅当 Ax=0A\\mathbf{x} = \\mathbf{0}Ax=0 只有平凡解。 **结论** ： AAA 的各列必定线性无关。 *** ** * ** *** > 40. 设 m×nm \\times nm×n 矩阵 AAA 有 nnn 个主元列。说明为什么对 Rm\\mathbb{R}\^mRm 中每个 b\\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 至多有一个解。 **解答**： 1. AAA 有 nnn 个主元列，意味着其阶梯形每列均含主元（无自由变量）。 2. 方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 的解中，自由变量对应参数化解的自由度。无自由变量时，解中无参数。 3. 若 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 有解，则解唯一（因无参数）；若无解，则不存在解。 4. 因此，对任意 b\\mathbf{b}b，方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 要么无解，要么唯一解，即**至多有一个解**。 **结论** ： 方程 Ax=bA\\mathbf{x} = \\mathbf{b}Ax=b 至多有一个解。