1、向量
n个数构成的有序数组，分为行向量和列向量。
内积 记作
这里的a是列向量
正交 当 = 0 时，称a,b是正交向量
A是由多个列向量组成，如果等于
，那么称A叫做n阶正交矩阵， 并且这些列向量为标准 或单位正交向量组 ，也叫规范正交基。
这个正交矩阵，乘上一个向量，相当于把这个向量旋转
。
2、线性相关
对于m个n维向量，若存在一组不全为零的
，使得
，则称向量组线性相关
3、判别线性相关的定理
①如果一个多 的向量组可以由一个少 的向量组线性表示，那么这个多 的向量组一定是线性相关的
②
线性相关，说明x有非零解，根据克拉默法则推出：系数矩阵行列式为0；
线性无关，说明x只有零解，根据克拉默法则推出：系数矩阵行列式不为0。
判断向量的个数和方程的个数，如果向量个数多于方程个数，那么一定线性相关；
③向量可由向量组
线性表示，则非其次线性方程组
有解，则
一个矩阵，乘上一个可逆矩阵，它的秩不变。
4、极大线性无关组
简单说就是一批向量组中，取出一批线性无关的，同时，原向量组中的任意向量都可以由这一批线性无关的向量线性表示。
等价向量组：
两组向量可以互相表示，两个秩相等。
两组向量组的秩相等不一定能得到两组向量是等价的。例如1,0和0,1它们不能互相表示。
5、有关秩的重要定理和公式
①三秩相等，矩阵的秩=行秩=列秩
②A矩阵经过初等行变换为B,两个行向量组是等价向量组，同时，A和B任何相应部分的列向量具有相同的线性相关性。
6、矩阵的分解（重点）
对于一个矩阵 ，我们可以把它分解成为AB两个矩阵相乘，A矩阵为原矩阵的极大线性无关列向量组成的，B矩阵的列向量为表示原矩阵需要的系数。
例如：
、
7、关于矩阵的一些秩不等式的证明
①
证明：把B矩阵行分块，得到AB向量组可以由B向量组线性表示
进而推出，再把AB转置一下，同理得到
②
证明：
由于A+B可以由A|B线性表示，所以，后式显而易见。
③
，则
证明：
是两个解，
是解的维度，因为B是解空间中的部分，所以
④
第一种情况，A如果是满秩的，那么A是可逆的，则也是可逆的，所以也是满秩。
第三种情况，A的n-1阶子式全为零，所以是0矩阵。
第二种情况伴随矩阵不为零矩阵，所以秩为1
8、向量空间（仅数一）
①基本概念
n个线性无关的向量是
为向量空间
的一个基，
是向量空间的维数，而
称为向量
在基
下的坐标。
②基变换、坐标变换
C称为过度矩阵。
③规范正交基
根据已知的线性无关的向量组，求出单位正交向量组
9、额外的知识总结
①如果(列满秩),则