目录
[🌊 不可压缩流 vs. 🚀 可压缩流](#🌊 不可压缩流 vs. 🚀 可压缩流)
[1. 核心物理区别](#1. 核心物理区别)
[2. ns方程形式](#2. ns方程形式)
[1. 第一个方程：演化方程](#1. 第一个方程：演化方程)
[2. 第二个方程：化学势定义](#2. 第二个方程：化学势定义)
[3. 第三个方程：动量方程](#3. 第三个方程：动量方程)
[4. 第四个方程：连续性方程](#4. 第四个方程：连续性方程)
[🎯 形式差异的根本原因](#🎯 形式差异的根本原因)
[1. 物理系统不同](#1. 物理系统不同)
[2. 数学建模策略不同](#2. 数学建模策略不同)
[3. 数值处理需求不同](#3. 数值处理需求不同)
[💡 对研究的启示](#💡 对研究的启示)
[📊 变量分层解析](#📊 变量分层解析)
[📊 CHNS方程数值方法全景图](#📊 CHNS方程数值方法全景图)
[🎯 一、时间离散策略](#🎯 一、时间离散策略)
[1. 一阶格式](#1. 一阶格式)
[2. 二阶格式](#2. 二阶格式)
[🎨 二、空间离散策略](#🎨 二、空间离散策略)
[1. 混合有限元方法](#1. 混合有限元方法)
[2. 稳定化方法](#2. 稳定化方法)
[🤝 三、系统耦合策略](#🤝 三、系统耦合策略)
[1. 全耦合格式](#1. 全耦合格式)
[2. 解耦格式](#2. 解耦格式)
a) 弱耦合格式 弱耦合格式)
b) 完全解耦格式 完全解耦格式)
[🛠️ 四、核心构造技术](#🛠️ 四、核心构造技术)
[1. 凸分裂方法](#1. 凸分裂方法)
[2. 压力投影法](#2. 压力投影法)
[📈 五、分析目标](#📈 五、分析目标)
[1. 能量稳定性](#1. 能量稳定性)
[2. 误差估计](#2. 误差估计)
[📝 总结表格](#📝 总结表格)
🌊 不可压缩流 vs. 🚀 可压缩流
1. 核心物理区别
| 特性 | 不可压缩流 | 可压缩流 |
|---|---|---|
| 密度 (ρ) | 常数 (ρ = const) | 变量 (ρ = ρ(x, y, z, t))，随压力和温度变化 |
| 马赫数 | Ma < 0.3 (约300 m/s以下，如水、低速空气) | Ma > 0.3 (如高速飞行、爆炸、内燃机) |
| 能量方程 | 通常解耦，可先求解连续性+动量方程 | 强耦合，必须联立求解能量方程 |
| 物理现象 | 无激波、声波传播不是主要关注点 | 可能出现激波、膨胀波等复杂现象 |
2. ns方程形式
CHNS方程形式
方程逐个对比分析
1. 第一个方程：演化方程
第一组 (1.1a): φ_t - γΔμ + u·∇φ = 0
第二组: ∂_t c - M₀Δμ + ∇·(cv) = 0
差异原因：
- 变量不同 ：
φ（相场）vsc（溶质浓度） - 对流项形式不同 ：
u·∇φ：相场被流体被动输运∇·(cv)：溶质守恒输运（散度形式保证质量守恒）
- 物理意义：相场描述界面位置，浓度描述物质分布
2. 第二个方程：化学势定义
第一组 (1.1b): μ + λ(Δφ - g(φ)) = 0
第二组: μ = βΦ'(c) - αΔc
差异原因：
- 非线性程度不同 ：
g(φ)：强非线性（如双阱势φ³-φ）Φ'(c)：弱非线性（如二次函数）
- 梯度项系数不同 ：
λΔφ：界面能项（抑制界面过薄）αΔc：扩散项（溶质的空间分布效应）
- 自由能泛函不同：相场用双阱势，溶质用混合自由能
3. 第三个方程：动量方程
第一组 (1.1c): u_t + (u·∇)u + ∇p - νΔu - μ∇φ = 0
第二组: ρ₀(∂_t v + v·∇v) - 2∇·(μₛε(v)) = -∇p + μ∇c
差异原因：
- 密度处理不同 ：
- 第一组：隐含
ρ=1（无量纲化） - 第二组：显式
ρ₀（有量纲密度）
- 第一组：隐含
- 粘性项形式不同 ：
νΔu：牛顿流体粘性（拉普拉斯形式）2∇·(μₛε(v))：一般流体粘性（应变率张量形式）
- 驱动力不同 ：
μ∇φ：表面张力驱动（界面力）μ∇c：浓度梯度驱动（溶质浮力）
4. 第四个方程：连续性方程
第一组 (1.1d): ∇·u = 0
第二组: ∇·v = 0
差异原因：
- 形式相同：都表示不可压缩条件
- 变量符号不同 ：
uvsv（仅仅是符号选择）
🎯 形式差异的根本原因
1. 物理系统不同
复制
第一组：相分离系统
- 核心：界面演化
- 驱动力：表面张力最小化
第二组：溶质输运系统
- 核心：物质输运
- 驱动力：化学势梯度最小化
引用
2. 数学建模策略不同
| 方面 | 第一组 | 第二组 |
|---|---|---|
| 变量选择 | 相场φ | 浓度c |
| 自由能 | 双阱势 | 混合自由能 |
| 守恒律 | 界面守恒 | 质量守恒 |
| 耦合机制 | 界面-流体耦合 | 溶质-流体耦合 |
3. 数值处理需求不同
第一组需要处理：
- 界面锐化（保持界面厚度）
- 表面张力计算（曲率相关）
第二组需要处理：
- 浓度边界层
- 溶质守恒性
💡 对研究的启示
- 方法选择：根据具体问题选择合适的CHNS形式
- 数值挑战 ：
- 相场CHNS：界面捕捉
- 溶质CHNS：浓度边界层处理
- 物理理解：不同形式反映不同的物理机制
这种形式差异体现了CHNS方程的灵活性和适应性------它可以根据具体物理问题调整数学形式，但保持核心的耦合思想。
CHNS求解多少个变量
最少需要求解 3 个核心变量 ，但完整的物理描述通常涉及 5-7 个变量。
📊 变量分层解析
第一层：核心求解变量（3个）
这些是必须通过求解PDE得到的未知函数：
| 变量 | 符号 | 物理意义 | 方程类型 |
|---|---|---|---|
| 相场 | ϕϕ | 相分布（0=流体A, 1=流体B） | Cahn-Hilliard方程 |
| 速度 | u=(ux,uy,uz)u=(ux,uy,uz) | 流体速度场 | Navier-Stokes方程 |
| 压力 | pp | 压力场 | 连续性方程约束 |
注意：uu 是向量，在三维空间中包含3个分量，但通常被视为一个向量变量。
第二层：辅助变量（2个）
这些变量通常通过代数关系从核心变量导出，不直接求解PDE：
| 变量 | 符号 | 物理意义 | 定义方式 |
|---|---|---|---|
| 化学势 | μμ | 相变驱动力 | μ=−λ(Δϕ−g(ϕ))μ=−λ(Δϕ−g(ϕ)) |
| 自由能密度 | F(ϕ)F(ϕ) | 热力学势 | F(ϕ)=14ε2(1−ϕ2)2F(ϕ)=4ε21(1−ϕ2)2 |
第三层：物理参数（常量或已知函数）
这些是模型的输入参数，不是求解变量：
| 参数 | 符号 | 典型值/范围 | 物理意义 |
|---|---|---|---|
| 界面厚度 | εε | 10−8∼10−610−8∼10−6m | 界面扩散尺度 |
| 混合能密度 | λλ | 材料相关 | 界面张力系数 |
| 运动粘度 | νν | 10−6∼10−310−6∼10−3m²/s | 流体粘性 |
| 迁移率 | γγ | 10−12∼10−910−12∼10−9 | 相变动力学 |
| 密度 | ρρ | 103103 kg/m³ | 流体密度 |
📊 CHNS方程数值方法全景图
我们可以将这些方法从三个维度进行分类：
- 时间离散策略 (如何推进时间)
- 空间离散策略 (如何处理空间)
- 系统耦合策略 (如何处理变量间的耦合关系)
🎯 一、时间离散策略
这是决定格式精度和稳定性的核心。
1. 一阶格式
- Euler 隐格式 ：
- 描述：最简单、最基础的隐式方法。
- 公式：un+1−unΔt=f(un+1)Δtun+1−un=f(un+1)
- 特点：无条件稳定（线性问题），但精度较低（O(Δt)O(Δt)）。
- 文献中出现：Feng [29], Diegel et al. [22]
2. 二阶格式
- 时间二阶格式 ：
- 描述：精度更高（O(Δt2)O(Δt2)），是精度与效率的平衡点。
- 常见实现：Crank-Nicolson, BDF2等。
- 特点：计算成本适中，稳定性好，是工业和学术研究的主流选择。
- 文献中出现：Han & Wang [41], Diegel et al. [23]
🎨 二、空间离散策略
这主要指有限元方法中的具体技术。
1. 混合有限元方法
- 描述：使用多个不同的有限元空间来求解耦合问题。
- 核心应用：处理Navier-Stokes方程中的速度-压力耦合。
- 原因 ：速度和压力的有限元空间需要满足特定的inf-sup条件（或LBB条件），以避免数值不稳定（如压力振荡）。
- 文献中出现：几乎所有文献都隐含或明确使用了该方法，如Feng [29], Diegel et al. [22, 23]。
2. 稳定化方法
- 描述：通过添加小的稳定项，使得inf-sup条件不再被严格要求，允许使用更简单的、等阶的速度-压力有限元空间。
- 优点：增加了有限元空间选择的灵活性，简化了程序实现。
- 文献中出现：Shen & Yang [69, 70], Cai & Shen [14], Chen et al. [18]。
🤝 三、系统耦合策略
这是处理CHNS强非线性和复杂耦合的关键，也是算法创新最活跃的领域。
1. 全耦合格式
- 描述：将相场、化学势、速度、压力等所有变量放在一个大的非线性系统中，同时求解。
- 优点：物理上最忠实于原方程，耦合紧密。
- 缺点：系统规模巨大，求解困难，计算成本极高。
- 文献中出现：Grün [36], Shen & Yang [69]。
2. 解耦格式
这是研究的重点和难点，旨在将大系统拆分为若干个小系统，提高计算效率。
a) 弱耦合格式
- 描述 ：系统被拆分，但各子系统的求解仍需在单个时间步内进行迭代，直至收敛。
- 特点：介于全耦合和完全解耦之间，计算量和耦合度居中。
- 文献中出现：Cai & Shen [14]。
b) 完全解耦格式
- 描述 ：将大系统拆分为多个独立的子系统，每个子系统可以顺序、独立地求解，无需迭代。
- 优点：计算效率最高，易于并行化。
- 缺点：设计难度大，需要巧妙地处理耦合项以保证稳定性和精度。
- 文献中出现：Shen & Yang [70], Xu et al. [76], Chen et al. [18]。
🛠️ 四、核心构造技术
为了实现上述的解耦和稳定性，研究者们发明了一些巧妙的技术。
1. 凸分裂方法
- 描述：将自由能泛函 F(ϕ)F(ϕ) 人为地分裂成一个凸的部分 Fc(ϕ)Fc(ϕ) 和一个凹的部分 Fe(ϕ)Fe(ϕ)，即 F(ϕ)=Fc(ϕ)+Fe(ϕ)F(ϕ)=Fc(ϕ)+Fe(ϕ)。
- 作用：对凸部分进行隐式处理，对凹部分进行显式处理，从而既能保证能量稳定性，又能避免完全隐式的非线性求解。
- 文献中出现：Shen & Yang [70], Han & Wang [41], Diegel et al. [22]。
2. 压力投影法
- 描述：一种经典的处理不可压缩流的方法，将速度和压力的求解分离开。
- 步骤 ：
- 先求解一个不含压力梯度的"中间速度"。
- 再通过求解一个压力泊松方程来修正中间速度，使其满足不可压缩条件。
- 优点：避免了直接求解速度-压力的鞍点问题。
- 文献中出现：Han & Wang [41], Chen et al. [18]。
📈 五、分析目标
文献中反复提到的研究目标，反映了该领域的关注重点。
1. 能量稳定性
- 目标：证明数值格式的离散能量随时间单调不增，即 En+1≤EnEn+1≤En。
- 类型 ：
- 条件稳定：对时间步长 ΔtΔt 有要求。
- 无条件稳定：对 ΔtΔt 没有限制。
- 文献中出现：几乎所有文献都提到了这一点。
2. 误差估计
- 目标：从数学上严格证明数值解与精确解之间的误差，给出收敛阶。
- 难点：CHNS的强非线性和复杂耦合使得误差分析非常困难。
- 类型 ：
- 半离散误差估计：只分析空间离散误差。
- 全离散误差估计：同时分析空间和时间离散误差（更难，成果更少）。
- 文献中出现：Feng [29], Diegel et al. [22, 23], Cai & Shen [14], Xu et al. [76], Chen et al. [18]。
📝 总结表格
| 方法类别 | 具体方法 | 主要特点 | 代表文献 |
|---|---|---|---|
| 时间离散 | Euler隐格式 | 一阶，无条件稳定 | Feng [29], Diegel [22] |
| 时间二阶格式 | 二阶，精度与效率平衡 | Han & Wang [41], Diegel [23] | |
| 空间离散 | 混合有限元 | 处理速度-压力耦合 | 几乎所有 |
| 稳定化方法 | 放宽inf-sup条件 | Shen & Yang [70], Cai & Shen [14] | |
| 系统耦合 | 全耦合 | 精确，计算昂贵 | Grün [36] |
| 弱耦合 | 迭代求解，折中方案 | Cai & Shen [14] | |
| 完全解耦 | 高效，线性求解 | Shen & Yang [70], Xu [76] | |
| 构造技术 | 凸分裂 | 保证能量稳定性的关键 | Shen & Yang [70], Han & Wang [41] |
| 压力投影法 | 分离速度和压力 | Han & Wang [41], Chen [18] | |
| 分析目标 | 能量稳定性 | 保证物理合理性 | 几乎所有 |
| 误差估计 | 验证数学收敛性 | Feng [29], Diegel [23] |
这段综述清晰地展示了CHNS数值方法从**"能算"** （建立格式、证明稳定）到**"算好"** （解耦、线性化、高效）再到**"算准"**（严格的误差分析）的发展历程。