B树的查找与树高
- 导读
- 一、查找
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- [1.1 查找思想](#1.1 查找思想)
- [1.2 查找过程](#1.2 查找过程)
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- [1.2.1 查找失败](#1.2.1 查找失败)
- [1.2.2 查找成功](#1.2.2 查找成功)
- 二、树高
- 结语
导读
大家好，很高兴又和大家见面啦！！！
在上一篇内容中我们初步认识了 多路查找树 、多路平衡查找树 以及 B树；
在 多路平衡查找树 这个大家族中，B树 就是其最经典的代表，因此我们不仅要认识 B树 ，我们还有了解该数据结构的一系列基本操作。
对于一个数据结构而言，在其基本操作：增、删、改、查中，最核心的操作就是 查找 ；而对于 树形结构 而言，其查找操作与 树的高度 挂钩；
因此在今天的内容中，我们将会详细介绍 B树 的查找操作以及不同情况下 B树 的高度，下面就让我们直接进入今天的内容；
一、查找
B树 的查找与 BST 很相似，只是每个结点都是多个关键字的有序表，在每个结点上所作的不是两路分支决定，而是根据该结点的子树所做的多路分支决定。
1.1 查找思想
B树 的查找思想并不复杂，具体步骤如下：
- 从根结点开始查找目标关键字或关键字所在范围：
- 若当前关键字大于目标关键字，则继续查找当前关键字的左侧指针指向的子树
- 若当前关键字小于目标关键字：
- 当前关键字的右侧还存在关键字，则继续顺序查找
- 当前关键字的右侧不存在关键字，则继续查找当前关键字的右侧指针指向的子树
- 若当前关键字等于目标关键字，则查找成功
- 找到目标关键字所在子树后，继续按照上述步骤继续查找：
- 若找到了目标关键字，则查找成功
- 若当前子树为空树，则说明查找失败
这里我个人的看法是，该查找过程可以视为是一棵复合的 BST 的查找过程，这里我解释一下什么是复合，下面我以一棵 3阶B树 为例进行说明：
- 复合成 BST2 p1 p2 key2 子树2 子树3 BST1 p0 p1 key1 子树1 子树2 3阶B树 n, p0, key1, p1, key2, p2 子树1 子树2 子树3
在结点中的顺序查找过程可以我们可以视为 查找目标所在的 BST ：
- 当前关键字 k e y i key_i keyi 对应的是 BST 的根结点
root - 当前关键字的左侧指针 p i − 1 p_{i -1} pi−1 对应的是 BST 的左子树指针
lchild - 当前关键字的右侧指针 p i p_i pi 对应的是 BST 的右子树指针
rchild
当我们确定了目标所在的 BST 后，我们再根据 BST 的查找规则继续查找 目标关键字：
- 当前关键字 等于 目标关键字，则查找成功
- 当前关键字 小于 目标关键字，则视情况进行查找：
- 当前关键字右侧仍存在关键字，则继续向右顺序查找
- 当前关键字右侧不存在关键字，则查找以当前关键字为根的 BST 的右子树指针
- 当前关键字 大于 目标关键字，则查找以当前关键字为根的 BST 的左子树指针
这里可能大家会好奇，为什么小于时，是直接查找子树？而大于时，则需要看具体的情况？
这是因为在结点内的查找我们采用的是从左到右的顺序查找，而结点内的元素是按从左到右升序排列，即 k e y 0 < k e y 1 < ⋯ < k e y m − 1 key_0 < key_1 < \cdots < key_{m - 1} key0<key1<⋯<keym−1；
因此当目标关键字 k e y key key 比当前关键字 k e y i key_i keyi 小时，说明目标关键字大于当前关键字左侧的所有关键字，但是小于当前关键字，即 k e y 0 < ⋯ < k e y i − 1 < k e y < k e y i key_0 < \cdots < key_{i - 1} < \textcolor{red}{key} < key_i key0<⋯<keyi−1<key<keyi；
所以在这种情况下，我们只需要直接查找以 k e y i key_i keyi 为根结点的 BST 的左子树（ p i − 1 p_{i - 1} pi−1 指向的子树）即可；
PS: 这部分提到的 BST 指的是 m阶B树 中一棵近似的 BST ，而不是 m阶B树 中真正存在一棵 BST ；
这里大家一定要清楚，不要弄混了
B树 的查找包含两个基本操作：
- 在 B树 中找结点
- 在结点中找关键字
B树 常存储在磁盘上，因此前一查找操作实在磁盘上进行，后一查找操作则是在内存中进行，即 B树 的查找操作是先在磁盘上找到目标结点后，再将结点信息读入内存，最后在内存中通过顺序查找或者折半查找找到目标关键字。
因此，在磁盘上进行查找的次数即目标结点在B树上的层次数，决定了 B树 的查找效率。
1.2 查找过程
下面我们以一棵 5阶B树 为例，简单的说明一下具体的查找过程：
22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 13, 15 NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56 NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL NULL
这里我们以查找关键字 10 与 关键字 48 为例，分别说明查找失败与查找成功两个场景；
其具体的查找过程可以分为两步：
- 从磁盘中读取当前结点到内存中
在开始对 B树 进行查找时，磁盘中会有一个指针指向树中的各个结点，而计算机在查找该结点时，不能直接在磁盘中进行查找，而是通过将磁盘中的指针指向的当前结点读取到内存后，再对内存中的结点进行查找操作；
- 在内存中查找关键字
当完成了第一步从磁盘读取结点数据到内存后，正在的查找操作就会在内存中执行。
由于 B树 中各结点中的数据是一个升序顺序表，因此在内存中查找目标关键字是否存在与当前结点中时，可以采用的查找操作既可以是 顺序查找 也可以是 折半查找 ；
- 返回查找结果
在查找的过程中，会先判断当前读取的结点是否为 空叶结点：
- 为 空叶结点 ，则查找失败
- 为 非空叶结点 ，继续执行具体的查找方案
不管是用 顺序查找 还是 折半查找 ，最终都只会存在3种结果：
- 当前关键字 等于 目标关键字： k e y i = = k e y key_i == \textcolor{red}{key} keyi==key ，查找成功
- 当前关键字 小于 目标关键字： k e y i < k e y key_i < \textcolor{red}{key} keyi<key ，继续查找该关键字的右侧指针 p i p_i pi 指向的子树
- 当前关键字 大于 目标关键字： k e y i > k e y key_i > \textcolor{red}{key} keyi>key ，继续查找该关键字的左侧指针 p i − 1 p_{i - 1} pi−1 指向的子树
这里我们需要注意，内存中的查找结果一定是当前结点的最终查找结果：
- 完成了关键字的查找------查找成功或者查找失败
- 确定了关键字的具体范围
下面我们就以查找关键字 10 和关键字 48 为例进行说明；
1.2.1 查找失败
当我们在查找关键字 10 时，其具体过程如下所示：
- 首先我们会从磁盘中读取根结点到内存中：
内存 22 磁盘 p0 p1 p0 p1 p2 p0 p1 p2 22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 13, 15 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56
通过内存中的 顺序/折半查找 最终确定了关键字的范围： 10 < 22 10 < 22 10<22 ；确定了具体范围后，会继续从磁盘中读取该结点中的 p 0 p0 p0 指针指向的子树：
- 读取 p 0 p_0 p0 指向的子树根结点到内存中
内存 5, 11 磁盘 p0 p1 p0 p1 p2 p0 p1 p2 22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 13, 15 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56
通过内存中的 顺序/折半查找 最终确定了关键字的范围： 5 < 10 < 11 5 < 10 < 11 5<10<11 ；确定了具体范围后，会继续从磁盘中读取该结点中的 p 1 p_1 p1 指针指向的子树：
- 读取 p 1 p_1 p1 指向的子树根结点到内存中
内存 6, 8, 9 磁盘 p0 p1 p0 p1 p0 p1 p2 p2 p0 p1 p2 22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 NULL NULL NULL 13, 15 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56
通过内存中的 顺序/折半查找 最终确定了关键字的范围： 9 < 10 9 < 10 9<10 ；确定了具体范围后，会继续从磁盘中读取该结点中的 p 2 p_2 p2 指针指向的子树：
- 读取 p 2 p_2 p2 指向的子树根结点到内存中
内存 NULL 磁盘 p0 p1 p0 p1 p0 p1 p2 p2 p0 p1 p2 22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 NULL NULL NULL 13, 15 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56
由于当前结点为 空叶结点 ，这就表示树中不存在关键字 10 ，因此本次查找失败；
1.2.2 查找成功
当我们在查找关键字 48 时，其具体过程如下所示：
- 首先我们会从磁盘中读取根结点到内存中：
内存 22 磁盘 p0 p1 p0 p1 p2 p0 p1 p2 22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 13, 15 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56
通过内存中的 顺序/折半查找 最终确定了关键字的范围： 22 < 48 22 < 48 22<48 ；确定了具体范围后，会继续从磁盘中读取该结点中的 p 1 p1 p1 指针指向的子树：
- 读取 p 1 p_1 p1 指向的子树根结点到内存中
内存 36, 45 磁盘 p0 p1 p0 p1 p2 p0 p1 p2 22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 13, 15 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56
通过内存中的 顺序/折半查找 最终确定了关键字的范围： 45 < 48 45 < 48 45<48 ；确定了具体范围后，会继续从磁盘中读取该结点中的 p 2 p_2 p2 指针指向的子树：
- 读取 p 2 p_2 p2 指向的子树根结点到内存中
内存 47, 48, 50, 56 磁盘 p0 p1 p0 p1 p2 p0 p1 p2 22 5, 11 36, 45 1, 3 6, 8, 9 13, 15 30, 35 40, 42 47, 48, 50, 56
通过内存中的 顺序/折半查找 最终在该结点中找到了关键字 48 ，因此查找成功；
二、树高
从查找的过程我们不难发现，B树 的整个查找过程与磁盘的存取次数息息相关；
在查找中，从磁盘中读取 B树 的结点次数，与结点所在层次相同：
- 关键字
22所在结点位于树的第一层，从磁盘中读取该结点时，读取的总次数为 1 1 1 次 - 关键字
48所在结点位于树的第三层，从磁盘中读取该结点时，读取的总次数为 3 3 3 次
换句话说，当我们要查找的关键字所在的结点层次越高，对应的 B树 的高度也就越高，相应的，查找操作中所进行的磁盘存取次数也就越多；
这么看来，对 B树 进行查找操作时，所需的磁盘存取次数与 B树 的高度成正比；
因此，当一棵 B树 的高度越低时，其查找的效率也就越高。接下来，我们就来一起分析一下 B树 在不同情况下的高度。
PS:
这里我们探讨的 B树 的高度是 不包括空叶结点 的高度；
当然，在某些情况下，B树 的高度指的是 包含空叶结点 的高度；
因此 B树 的具体高度还是得看具体的情况；
若 n ≥ 1 n \geq 1 n≥1 ，则对任意一棵包含 n n n 个关键字、高度 h h h 、阶数 m m m 的 B树 ，在关键字总数一定的情况下，其高度 h h h 与关键字的个数 n n n 以及阶数 m m m 之间的关系如下：
- 每个结点中的关键字个数达到最多，此时容纳相同数量关键字的 B树 的高度达到最小。
这是因为，对于 m 阶 B 树 m阶B树 m阶B树 而言，每个结点中均可容纳 m − 1 m - 1 m−1 个关键字，因此每个结点均有 m m m 棵子树。当每个结点的关键字数量最多时，说明此时的 B树 可以视为一棵 满树，那么各层的关键字个数为：
- 第一层：有 1 1 1 个结点，每个结点中有 m − 1 m - 1 m−1 个关键字，共有 1 ∗ ( m − 1 ) 1 * (m - 1) 1∗(m−1) 个关键字
- 第二层：有 m m m 个结点，每个结点中有 m − 1 m - 1 m−1 个关键字，共有 m ∗ ( m − 1 ) m * (m - 1) m∗(m−1) 个关键字
- 第三层：有 m 2 m^2 m2 个结点，每个结点中有 m − 1 m - 1 m−1 个关键字，共有 m 2 ∗ ( m − 1 ) m^2 * (m - 1) m2∗(m−1) 个关键字
- ⋯ \cdots ⋯
- 第 h h h 层：有 m h − 1 m^{h - 1} mh−1 个结点，每个结点中有 m − 1 m - 1 m−1 个关键字，共有 m h − 1 ∗ ( m − 1 ) m^{h - 1} * (m - 1) mh−1∗(m−1) 个关键字
现在我们就能算得关键字的总个数 n n n 应该满足：
n ≤ ( m − 1 ) ∗ ( 1 + m + m 2 + ⋯ + m h − 1 n ≤ ( m − 1 ) ∗ m h − 1 m − 1 n ≤ m h − 1 log m ( n + 1 ) ≤ h \begin{align*} n &\leq (m - 1) * (1 + m + m^2 + \cdots + m^{h - 1} \\ n &\leq (m - 1) * \frac{m ^h - 1}{m - 1} \\ n &\leq m ^ h - 1 \\ \log_m (n + 1) &\leq h \end{align*} nnnlogm(n+1)≤(m−1)∗(1+m+m2+⋯+mh−1≤(m−1)∗m−1mh−1≤mh−1≤h
- 每个结点中的关键字个数达到最少，此时容纳同样多关键字的 B树 的高度达到最大。
这是因为，根据 B树 的性质，每一层的结点个数以及关键字总数分别为：
- 第一层：有 1 1 1 个结点，且结点中至少有 1 1 1 个关键字，其关键字总数为 1 1 1
- 第二层：有 2 2 2 个结点，且结点中至少有 ⌈ m 2 ⌉ − 1 \lceil \frac{m}{2} \rceil - 1 ⌈2m⌉−1 个关键字，其关键字总数为 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ − 1 ) 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1) 2∗(⌈2m⌉−1)
- 第三层：有 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ ) 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil) 2∗(⌈2m⌉) 个结点，且结点中至少有 ⌈ m 2 ⌉ − 1 \lceil \frac{m}{2} \rceil - 1 ⌈2m⌉−1 个关键字，其关键字总数为 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ ) ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ − 1 ) 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil) * (\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1) 2∗(⌈2m⌉)∗(⌈2m⌉−1)
- 第四层：有 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ ) 2 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil)^2 2∗(⌈2m⌉)2 个结点，且结点中至少有 ⌈ m 2 ⌉ − 1 \lceil \frac{m}{2} \rceil - 1 ⌈2m⌉−1 个关键字，其关键字总数为 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ ) 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ − 1 ) 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil)^2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1) 2∗(⌈2m⌉)2∗(⌈2m⌉−1)
- ⋯ \cdots ⋯
- 第 h h h 层：有 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ ) h − 2 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil)^{h - 2} 2∗(⌈2m⌉)h−2 个结点，且结点中至少有 ⌈ m 2 ⌉ − 1 \lceil \frac{m}{2} \rceil - 1 ⌈2m⌉−1 个关键字，其关键字总数为 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ ) h − 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ − 1 ) 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil)^{h - 2} * (\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1) 2∗(⌈2m⌉)h−2∗(⌈2m⌉−1)
现在我们就能算得关键字的总个数应该满足：
n ≥ 1 + ( 1 + ⌈ m 2 ⌉ + ⌈ m 2 ⌉ 2 + ⋯ + ⌈ m 2 ⌉ h − 2 ) ∗ 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ − 1 ) n ≥ 1 + ⌈ m 2 ⌉ h − 1 − 1 ⌈ m 2 ⌉ − 1 ∗ 2 ∗ ( ⌈ m 2 ⌉ − 1 ) n ≥ 2 ∗ ⌈ m 2 ⌉ h − 1 − 1 n + 1 ≥ 2 ∗ ⌈ m 2 ⌉ h − 1 n + 1 2 ≥ ⌈ m 2 ⌉ h − 1 log ⌈ m 2 ⌉ n + 1 2 ≥ h − 1 log ⌈ m 2 ⌉ n + 1 2 + 1 ≥ h \begin{align*} n &\geq 1 + (1 + \lceil \frac{m}{2} \rceil + \lceil \frac{m}{2} \rceil^{2} + \cdots + \lceil \frac{m}{2} \rceil^{h - 2}) * 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1) \\ n &\geq 1 + \frac{\lceil \frac{m}{2} \rceil^{h - 1} - 1}{\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1} * 2 * (\lceil \frac{m}{2} \rceil - 1) \\ n &\geq 2 * \lceil \frac{m}{2} \rceil ^ {h - 1} - 1 \\ n + 1 &\geq 2 * \lceil \frac{m}{2} \rceil ^ {h - 1} \\ \frac{n + 1}{2} &\geq \lceil \frac{m}{2} \rceil ^ {h - 1} \\ \log_{\lceil \frac{m}{2} \rceil} \frac{n + 1}{2} &\geq h - 1 \\ \log_{\lceil \frac{m}{2} \rceil} \frac{n + 1}{2} + 1 &\geq h \end{align*} nnnn+12n+1log⌈2m⌉2n+1log⌈2m⌉2n+1+1≥1+(1+⌈2m⌉+⌈2m⌉2+⋯+⌈2m⌉h−2)∗2∗(⌈2m⌉−1)≥1+⌈2m⌉−1⌈2m⌉h−1−1∗2∗(⌈2m⌉−1)≥2∗⌈2m⌉h−1−1≥2∗⌈2m⌉h−1≥⌈2m⌉h−1≥h−1≥h
此时我们就得到了一棵关键字个数为 n n n 的 m 阶 B 树 m阶B树 m阶B树 的高度 h h h 的具体范围：
log m ( n + 1 ) ≤ h ≤ log ⌈ m 2 ⌉ n + 1 2 + 1 \log_m (n + 1) \leq h \leq \log_{\lceil \frac{m}{2} \rceil} \frac{n + 1}{2} + 1 logm(n+1)≤h≤log⌈2m⌉2n+1+1
结语
通过本文的探讨，我们系统性地剖析了 B树查找操作 的核心机制与性能特点。
B树 作为一种高效的 多路平衡查找树，其设计精髓在于通过多路分支和节点平衡，显著降低树高，从而优化大规模数据存储场景下的查询效率。
📌 核心知识点回顾
- 查找操作的本质
B树的查找是一个在 磁盘I/O 与 内存计算 之间交替的过程：
- 首先在磁盘上通过路径导航定位目标节点（次数等于节点所在层次）
- 再将节点读入内存进行关键字比较。
- 每个节点内的关键字有序排列，通过 顺序或二分查找 确定目标关键字或目标关键字所在子树：
- 若在某节点找到目标关键字则立即返回成功；
- 若到达叶子节点仍未找到则返回失败。
- 树高与性能的数学关系
B树 通过多路平衡设计确保树高被严格限制在对数范围内。对于包含 n n n 个关键字的 m阶B树 ，其高度 h h h 满足：
log m ( n + 1 ) ≤ h ≤ log ⌈ m 2 ⌉ n + 1 2 + 1 \log_m (n + 1) \leq h \leq \log_{\lceil \frac{m}{2} \rceil} \frac{n + 1}{2} + 1 logm(n+1)≤h≤log⌈2m⌉2n+1+1
这一性质保证了即使数据量极大，查找时的磁盘I/O次数仍可控制在极低水平。
- 节点内查找的决策逻辑
节点内的查找可视为一个 动态的顺序比较过程。查找从节点的第一个关键字开始，将目标关键字与节点内的关键字依次进行有序比较，每次比较会立即导向一个明确的决策：
- 若等于当前关键字则成功返回；
- 若小于当前关键字则转入左侧子树；
- 若大于当前关键字则继续与下一个关键字比较。
此过程逐步缩小搜索范围，直至定位目标或确定路径。
🌟 下篇预告
在掌握了B树高效的查找逻辑后，我们将在下一篇文章中深入解析 B树的插入与删除操作，探讨其如何通过节点分裂、合并与关键字旋转等机制动态维持平衡结构。
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